線対称のベクトルの計算

反射の計算をする時に、あるベクトルと法線ベクトルが与えられ、法線ベクトルを基準として線対称なベクトルを計算する必要があった。
その時のメモ。

2つの単位ベクトル p, x があるとする。この時、x を基準として p と線対称なベクトル q を求める。
p と x の成す角を θ とする。p を x に垂直に投影したベクトル x' は次式となる。
　x' = x cos θ
線対称なベクトル q は、
　q = x' + (x' - p) = 2x' - p
　 = 2cos θ・x - p
p と x は単位ベクトルなので内積 (p・x)=cos θ より、
　q = 2(p・x) x - p