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多人数 n人から一人の勝者を決めるじゃんけんの平均回数

多人数 (n人とする) から一人の勝者を決めるじゃんけんの回数の期待値を計算する。
じゃんけんの回数は、あいこを含む回数 NA(n)あいこを含まない回数 NB(n) を求める。
n 人じゃんけんを1回だけ実行した時にあいこになる確率を Pd(n) とする ( d は英語の draw より)。
参加者はグーチョキパーを等確率 1/3 で出すものとする。

二人 (n=2) の場合

2人目 \ 1人目 グーチョキパー
グーあいこ終了終了
チョキ終了あいこ終了
パー終了終了あいこ

二人の場合は勝負がつけばおしまいなので、あいこを含まない回数の期待値は NB(2)=1 である。
表より、じゃんけんを1回だけした時にあいこになる確率は Pd(2) = 3/9 = 1/3 である。
あいこを含む回数の期待値 NA(2) を計算する。
i 回で勝負がつくのは、(i-1)回あいこが続いた後 勝敗が決まる場合なので、その確率は (1 - Pd(2))・Pdi-1(2) である。
従って、勝負がつくまでの回数の期待値は次式となる。
 NA(2) = 1・{ 1 - Pd(2) } + 2・Pd(2)・{ 1 - Pd(2) } + 3・Pd2(2)・{ 1 - Pd(2) } + … + i・Pdi-1(2)・{ 1 - Pd(2) } + …
  = { 1 - Pd(2) } × { 1 + 2・Pd(2) + 3・Pd2(2) + … + i・Pdi-1(2) + … }

この式を変形と等比級数の和の公式で計算すると、
 NA(2) = 1 / { 1 - Pd(2) } = 1 / { 1 - 1/3 } = 3/2 = 1.5

三人 (n=3) の場合

1人目グーチョキパー
3人目 \ 2人目グーチョキパーグーチョキパーグーチョキパー
グーあいこ2人勝1人勝2人勝1人勝あいこ1人勝あいこ2人勝
チョキ2人勝1人勝あいこ1人勝あいこ2人勝あいこ2人勝1人勝
パー1人勝あいこ2人勝あいこ2人勝1人勝2人勝1人勝あいこ

最初に、あいこを含む回数の期待値 NA(3) を計算する。
三人ジャンケンの場合は 1回ジャンケンを行うと、 1/3の確率で一人勝ちで終了、1/3の確率であいこ、1/3の確率で二人勝ちになる。
あいこの場合は引き続き三人じゃけんを行い、二人勝ちの場合は二人ジャンケンに移行する。よって NA(3) は、
 NA(3) = (1/3)・1 + (1/3)・{ NA(3) + 1} + (1/3)・{ NA(2) + 1}
これを解くと、
 NA(3) = 9/4 = 2.25

次に、あいこを含まない回数の期待値 NB(3) を計算する。
あいこをカウントしない場合は、1/2の確率で一人勝ちで終了、1/2の確率で二人勝ちで二人ジャンケンに移行する。よって NB(3) は、
 NB(3) = (1/2)・1 + (1/2)・{ NB(2) + 1} = 1/2 + 2/2 = 3/2 = 1.5

一般化 n人の場合

最初に、あいこを含む回数の期待値 NA(n) について考える。
1回のn人ジャンケンで、勝者が i 人となる確率を P(n, i) として、これを計算する。
n人から i 人の勝者を選ぶ組み合わせは、nCi 個ある。
勝者が出す手の種類は、グーチョキパーの3種類がある。勝者の手が決まれば敗者の手は必然的に決まる。
よって、n人から i 人の勝者が生まれるジャンケンの出し方の組み合わせは、3 × nCi となる。
n人が出す可能性がある全ての手の組み合わせは、3n なので、P(n, i) は次式となる。
 P(n, i) = 3 × nCi / 3n = nCi / 3n-1

あいこが発生する確率 Pd(n) は、勝敗がついた場合の余事象なので
 Pd(n) = 1 - { P(n, 1) + P(n, 2) + P(n, 3) + … + P(n, n-1) }

1回ジャンケンを行うと、 P(n, 1) の確率で一人勝ちで終了、Pd(n) の確率であいこ、P(n, i) の確率で i人勝ち(i=2...n-1) になる。
あいこの場合は引き続きじゃけんを行い、i人勝ちの場合は i人ジャンケンに移行する。よって NA(n) は、
 NA(n) = P(n, 1)・1 + Pd(n)・{ NA(n) + 1} + Σi=2...n-1 P(n, i)・{ NA(i) + 1}
これを整理すると次の漸化式が得られる。
 NA(n) = { 1 + Σi=2...n-1 P(n, i)・NA(i) } / Σi=1...n-1 P(n, i)

次に、あいこを含まない回数の期待値 NB(n) について考える。
n人じゃけんで勝敗が決まった場合について、i人勝ちの確率を Q(n, i) とする。
 Q(n, i) = P(n, i) / P(あいこ以外の全て) = P(n, i) / Σi=1...n-1 P(n, i)

あいこを含まない場合は、Q(n, 1) の確率で一人勝ちで終了、Q(n, i) の確率で i人勝ち(i=2...n-1) で i人ジャンケンに移行する。よって NB(n) は、
 NB(n) = Q(n, 1)・1 + Σi=2...n-1 Q(n, i)・{ NB(i) + 1}
これを整理すると次の漸化式が得られる。
 NB(n) = 1 + Σi=2...n-1 Q(n, i)・NB(i)

数値計算例

n=100 まで計算したものが下の表である。nが大きくなると、あいこを含む回数の期待値 NA(n) は急激に増加する。
仮に1回のジャンケンにかかる時間が 4秒とすると、1分で終わらせたいならば 8人くらいが限度である。

人数
n
あいこを含む回数の期待値
NA(n)
あいこを含まない回数の期待値
NB(n)
21.51
32.251.5
43.214285714291.85714285714
54.485714285712.14285714286
66.21981566822.38248847926
78.646735791092.58870967742
812.10444379942.76936753874
917.09193529182.92989585979
1024.34959775853.07425463775
1134.97946098673.20539967303
1250.62502051683.32557049677
1373.74035310893.43648746057
14107.9931336733.53949205587
15158.868440733.63564749661
16234.5736341963.72581061603
17347.3946774733.81068313741
18515.7294029043.89084830273
19767.1359025983.96679722516
201142.903239254.03894807707
211704.90517394.10766028676
222545.877838794.17324524044
233804.832602614.2359745109
245690.170817074.29608630917
258514.350252514.35379063465
2612745.87765084.40927345177
2719087.28868464.46270012241
2828592.1068154.51421825736
2942840.26773274.56396010562
3064201.23872154.61204457003
3196228.6760884.6585789167
32144252.3842984.70366023101
33216266.220934.74737666199
34324259.9119284.78980848918
35486216.7217694.83102903953
36729109.8928584.87110547765
371093397.222284.91009948852
381639762.824054.9480678687
392459229.643954.98506303993
403688328.070965.02113349618
415531848.653715.05632419427
428296970.924035.09067689588
4312444456.31855.12423046816
4418665437.16845.15702114872
4527996599.69555.18908277993
4641992957.8915.22044701687
4762987013.57065.25114351241
4894477495.49825.28120008252
49141712466.8765.31064285436
50212563985.0835.33949639937
51318840089.4165.36778385324
52478252780.3615.39552702433
53717369985.5875.42274649198
541076043505.285.44946169573
551614050925.565.47569101671
562421058482.985.50145185184
573631565354.045.52676068174
585447320080.625.55163313293
598170945196.975.57608403498
6012256374156.35.600127473
61183845067035.62377683601
6227576691910.15.64704486155
6341364952706.75.66994367684
6462047322636.75.69248483687
6593070850953.65.71467935958
661396061102105.73653775853
672094089575745.75807007315
683141131767245.77928589681
694711694405835.80019440289
707067537552955.82080436904
711.06013012602E+125.84112419975
721.59019455545E+125.86116194732
732.38529104126E+125.88092533145
743.57793557208E+125.90042175748
755.36690212094E+125.9196583334
768.05035163503E+125.93864188576
771.20755255197E+135.95737897451
781.81132858636E+135.97587590691
792.71699257756E+135.99413875047
804.07548848887E+136.01217334517
816.1132322615E+136.02998531481
829.16984780252E+136.04758007772
831.37547709666E+146.06496285679
842.06321555285E+146.08213868886
853.0948232141E+146.09911243358
864.64223467719E+146.1158887817
876.96335183584E+146.13247226293
881.04450275288E+156.14886725328
891.56675410121E+156.16507798198
902.35013111666E+156.18110853808
913.52519663107E+156.19696287657
925.28779489169E+156.21264482422
937.93169226889E+156.22815808511
941.18975383175E+166.24350624582
951.7846307369E+166.25869278035
962.67694609195E+166.27372105482
974.01541912117E+166.28859433184
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999.03469296503E+166.31788845155
1001.35520394148E+176.33231533875