ステファン=ボルツマンの法則を利用した惑星の表面温度の計算

地球の温度

地球に到達する太陽光のエネルギー密度は、p₀=1.38 [kW/m²] である(太陽定数)。
この値とシュテファン=ボルツマンの法則を使って、地球の表面温度 T₀ を計算してみる。

地球の半径を R, 吸収率を α, 放射率を ε, ステファン＝ボルツマン定数 σ=5.67 × 10^-8 [W/m²/K⁴] とする。
大気と自転 (昼・夜)は考慮しない。太陽光は全球面に一様に入射して、放射すると考える。

太陽から地球に入射するエネルギーは、太陽方向からの投影面積を考慮すると、
(入射エネルギー) = α p₀ × π R²

地球から宇宙方向へ放射するエネルギーは、地球の表面積を考慮すると、
(放射エネルギー) = ε σ T⁴ × 4 π R²

入射エネルギーと放射エネルギーが釣り合っている、及び吸収率 α = 反射率 ε (※注) と仮定して式を整理すると、
p₀ = 4 σ T⁴
T₀ = (p₀ / 4σ)^1/4
となり、地球の半径は消えてシンプルな式になる。

値を代入してみると、
T₀ = (p₀ / 4σ)^1/4 = {1380 / (4 × 5.67 × 10^-8}^^1/4 = 279 [K] = 6 [℃]
と、単純なモデルの割りにはそれらしい値が得られる。

※注　入射するスペクトルと放射するスペクトルが異なるため、実際には吸収率 α と反射率 ε は一致しない。

同様にして、惑星の表面温度も計算できる。
地球と太陽の距離を 1 とする天文単位 au を用いて、太陽と惑星との距離を a [au]とする。
惑星の位置での太陽光のエネルギー密度 p は、距離の2乗に反比例するので、地球 p₀を基準とすると、
p = p₀ / a²

エネルギーの式に代入して、Tについて整理すると
T = (p₀ / 4σ)^1/4/√a

つまり、惑星の絶対温度 T は、天文単位 a の平方根に反比例する。
各惑星について計算した温度と、実際の表面温度を次に示す。