前回 は、すごろくでゴールするまでにサイコロを振る回数の期待値を求めた。
今回は分散・標準偏差を計算する。途中は全て分散で計算し、最後に標準偏差を計算する。
すごろくのルールなどは前回に準ずる。
使用する変数が増えるので前回と変数の割り当てを変える。
サイコロを振る回数の確率変数を xi とする。x の期待値を 期待値を E[x]、分散を V[x] とする。
マスをゴールから近い順に qi とする。
最初に6マス(ゴールを含まない)しかない短いすごろくで考える。
前述した通り、この場合はどの位置でもある値が出ればゴールできる状態になっている(確率 1/6)。
出なければ、引き続きサイコロを振る状態に戻る(確率 5/6)。
ゴールまでにサイコロを振る回数の期待値は、開始位置によらず E[x] = 6 である。
分散 V[x] を計算する。分散の公式より、
V[x] = E[x2] - { E[x] }2
第2項は 62 = 36 と分かっているので、第1項を計算する。
E[x2] = (1/6)・12 + (1/6)・(5/6)・22 + (1/6)・(5/6)2・32 + (1/6)・(5/6)3・42 + …
これを解くと、E[x2] = 66 となる。よって、分散 V[x] = 30、標準偏差 σ = √30 ≈ 5.48となる。
平均 6 に対して標準偏差が約 5.48 なので、ゴールまでの回数は結構ばらつくことがわかる。
次に nマス(n≧7)に一般化するのだが、n = 7 の場合だけは少し特殊なので言及しておく。
先に答えを言うと 期待値 E[x7] = 7, 分散は 6マスと同じで V[x7] = 30 である。
理由は 7マスの場合は、1回目のサイコロを振った後に 100% の確率で 6マスのすごろくの状態になるからである。
では、一般の場合について考える。n≧7なので、ゴールからの跳ね返りは考慮しなくてよい。一方通行である。
V[xn] = E[xn2] - { E[xn] }2
第2項は前回計算したので、第1項を計算する。
スタートでサイコロを振ると、qn から 1/6 の確率で qn-j ( 1≦j≦6 ) に移る。
ゴールまでの回数 xn は xn-j に 1 加算される。(α+1)2 = α2 + 2 α + 1 であることを考慮すると、
E[xn2] = Σ(1/6)・{ E[xn-j2] + 2 E[xn-j] + 1 } ( j=1 to 6 )
= (1/6)・Σ{ V[xn-j] + { E[xn-j] }2 + 2 E[xn-j] + 1 } ( j=1 to 6 )
よって、分散 V[xn] は次式で漸化的に計算することができる。
V[xn] = (1/6)・Σ{ V[xn-j] + { E[xn-j] }2 + 2 E[xn-j] + 1 } - { E[xn] }2 ( j=1 to 6 )
なお次のように、この式は最初に言及した n = 7 の場合も含んでいる。
V[x7] = (1/6)・Σ{ V[x7-j] + { E[x7-j] }2 + 2 E[x7-j] + 1 } - { E[x7] }2 ( j=1 to 6 )
= (1/6)・Σ{ 30 + 62 + 2 × 6 + 1 } - 72 ( j=1 to 6 )
= 30
下の表は上式で計算した ゴールまでにサイコロを振る回数の期待値、分散、標準偏差である。
マス数 n = 1000 でも回数の標準偏差は約 10 である。マス数の増加に対して、回数のばらつきの増加は緩慢である。
この理由を定性的に説明すると次のようになる。
マス数が大きくなるとサイコロを振る回数自体が増える。すると大数の法則で、出る目の平均のばらつきが減少する。
そのため、ゴールまでの回数はそれ程ばらつかないのである。
すごろくのマスの数 (ゴールを含まない) n |
サイコロを振る回数の期待値 E[xn] |
分散 V[xn] |
標準偏差 σn |
6 | 6 | 30 | 5.477 |
7 | 7 | 30 | 5.477 |
8 | 7.167 | 30.139 | 5.49 |
9 | 7.361 | 30.286 | 5.503 |
10 | 7.588 | 30.427 | 5.516 |
11 | 7.853 | 30.538 | 5.526 |
12 | 8.161 | 30.577 | 5.53 |
13 | 8.522 | 30.486 | 5.521 |
14 | 8.775 | 30.624 | 5.534 |
15 | 9.043 | 30.738 | 5.544 |
16 | 9.324 | 30.823 | 5.552 |
17 | 9.613 | 30.882 | 5.557 |
18 | 9.906 | 30.924 | 5.561 |
19 | 10.197 | 30.971 | 5.565 |
20 | 10.476 | 31.065 | 5.574 |
21 | 10.76 | 31.142 | 5.581 |
22 | 11.046 | 31.209 | 5.587 |
23 | 11.333 | 31.271 | 5.592 |
24 | 11.62 | 31.333 | 5.598 |
25 | 11.905 | 31.402 | 5.604 |
26 | 12.19 | 31.476 | 5.61 |
27 | 12.476 | 31.544 | 5.616 |
28 | 12.762 | 31.611 | 5.622 |
29 | 13.048 | 31.677 | 5.628 |
30 | 13.333 | 31.745 | 5.634 |
31 | 13.619 | 31.814 | 5.64 |
32 | 13.905 | 31.883 | 5.646 |
33 | 14.19 | 31.95 | 5.652 |
34 | 14.476 | 32.018 | 5.658 |
35 | 14.762 | 32.086 | 5.664 |
36 | 15.048 | 32.154 | 5.67 |
37 | 15.333 | 32.222 | 5.676 |
38 | 15.619 | 32.29 | 5.682 |
39 | 15.905 | 32.358 | 5.688 |
40 | 16.19 | 32.426 | 5.694 |
41 | 16.476 | 32.494 | 5.7 |
42 | 16.762 | 32.562 | 5.706 |
43 | 17.048 | 32.63 | 5.712 |
44 | 17.333 | 32.698 | 5.718 |
45 | 17.619 | 32.766 | 5.724 |
46 | 17.905 | 32.834 | 5.73 |
47 | 18.19 | 32.902 | 5.736 |
48 | 18.476 | 32.971 | 5.742 |
49 | 18.762 | 33.039 | 5.748 |
50 | 19.048 | 33.107 | 5.754 |
51 | 19.333 | 33.175 | 5.76 |
52 | 19.619 | 33.243 | 5.766 |
53 | 19.905 | 33.311 | 5.772 |
54 | 20.19 | 33.379 | 5.777 |
55 | 20.476 | 33.447 | 5.783 |
56 | 20.762 | 33.515 | 5.789 |
57 | 21.048 | 33.583 | 5.795 |
58 | 21.333 | 33.651 | 5.801 |
59 | 21.619 | 33.719 | 5.807 |
60 | 21.905 | 33.787 | 5.813 |
61 | 22.19 | 33.855 | 5.818 |
62 | 22.476 | 33.923 | 5.824 |
63 | 22.762 | 33.991 | 5.83 |
64 | 23.048 | 34.059 | 5.836 |
65 | 23.333 | 34.127 | 5.842 |
66 | 23.619 | 34.195 | 5.848 |
67 | 23.905 | 34.263 | 5.853 |
68 | 24.19 | 34.331 | 5.859 |
69 | 24.476 | 34.399 | 5.865 |
70 | 24.762 | 34.467 | 5.871 |
71 | 25.048 | 34.535 | 5.877 |
72 | 25.333 | 34.603 | 5.882 |
73 | 25.619 | 34.671 | 5.888 |
74 | 25.905 | 34.739 | 5.894 |
75 | 26.19 | 34.807 | 5.9 |
76 | 26.476 | 34.875 | 5.906 |
77 | 26.762 | 34.943 | 5.911 |
78 | 27.048 | 35.011 | 5.917 |
79 | 27.333 | 35.079 | 5.923 |
80 | 27.619 | 35.147 | 5.929 |
81 | 27.905 | 35.215 | 5.934 |
82 | 28.19 | 35.283 | 5.94 |
83 | 28.476 | 35.351 | 5.946 |
84 | 28.762 | 35.42 | 5.951 |
85 | 29.048 | 35.488 | 5.957 |
86 | 29.333 | 35.556 | 5.963 |
87 | 29.619 | 35.624 | 5.969 |
88 | 29.905 | 35.692 | 5.974 |
89 | 30.19 | 35.76 | 5.98 |
90 | 30.476 | 35.828 | 5.986 |
91 | 30.762 | 35.896 | 5.991 |
92 | 31.048 | 35.964 | 5.997 |
93 | 31.333 | 36.032 | 6.003 |
94 | 31.619 | 36.1 | 6.008 |
95 | 31.905 | 36.168 | 6.014 |
96 | 32.19 | 36.236 | 6.02 |
97 | 32.476 | 36.304 | 6.025 |
98 | 32.762 | 36.372 | 6.031 |
99 | 33.048 | 36.44 | 6.037 |
100 | 33.333 | 36.508 | 6.042 |
… | … | … | … |
1000 | 290.476 | 97.732 | 9.886 |
… | … | … | … |
10000 | 2861.905 | 709.977 | 26.645 |