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続・すごろくでサイコロを何回振ればゴールできるか? 分散・標準偏差

前回 は、すごろくでゴールするまでにサイコロを振る回数の期待値を求めた。
今回は分散・標準偏差を計算する。途中は全て分散で計算し、最後に標準偏差を計算する。
すごろくのルールなどは前回に準ずる。

変数

使用する変数が増えるので前回と変数の割り当てを変える。
サイコロを振る回数の確率変数を xi とする。x の期待値を 期待値を E[x]、分散を V[x] とする。
マスをゴールから近い順に qi とする。

6マスのすごろく

最初に6マス(ゴールを含まない)しかない短いすごろくで考える。


前述した通り、この場合はどの位置でもある値が出ればゴールできる状態になっている(確率 1/6)。
出なければ、引き続きサイコロを振る状態に戻る(確率 5/6)。
ゴールまでにサイコロを振る回数の期待値は、開始位置によらず E[x] = 6 である。

分散 V[x] を計算する。分散の公式より、
V[x] = E[x2] - { E[x] }2
第2項は 62 = 36 と分かっているので、第1項を計算する。
E[x2] = (1/6)・12 + (1/6)・(5/6)・22 + (1/6)・(5/6)2・32 + (1/6)・(5/6)3・42 + …

これを解くと、E[x2] = 66 となる。よって、分散 V[x] = 30、標準偏差 σ = √30 ≈ 5.48となる。
平均 6 に対して標準偏差が約 5.48 なので、ゴールまでの回数は結構ばらつくことがわかる。

nマスのすごろく

次に nマス(n≧7)に一般化するのだが、n = 7 の場合だけは少し特殊なので言及しておく。

先に答えを言うと 期待値 E[x7] = 7, 分散は 6マスと同じで V[x7] = 30 である。
理由は 7マスの場合は、1回目のサイコロを振った後に 100% の確率で 6マスのすごろくの状態になるからである。

では、一般の場合について考える。n≧7なので、ゴールからの跳ね返りは考慮しなくてよい。一方通行である。
V[xn] = E[xn2] - { E[xn] }2
第2項は前回計算したので、第1項を計算する。

スタートでサイコロを振ると、qn から 1/6 の確率で qn-j ( 1≦j≦6 ) に移る。
ゴールまでの回数 xn は xn-j に 1 加算される。(α+1)2 = α2 + 2 α + 1 であることを考慮すると、
E[xn2] = Σ(1/6)・{ E[xn-j2] + 2 E[xn-j] + 1 }    ( j=1 to 6 )
= (1/6)・Σ{ V[xn-j] + { E[xn-j] }2 + 2 E[xn-j] + 1 }    ( j=1 to 6 )

よって、分散 V[xn] は次式で漸化的に計算することができる。
V[xn] = (1/6)・Σ{ V[xn-j] + { E[xn-j] }2 + 2 E[xn-j] + 1 } - { E[xn] }2    ( j=1 to 6 )

なお次のように、この式は最初に言及した n = 7 の場合も含んでいる。
V[x7] = (1/6)・Σ{ V[x7-j] + { E[x7-j] }2 + 2 E[x7-j] + 1 } - { E[x7] }2    ( j=1 to 6 )
= (1/6)・Σ{ 30 + 62 + 2 × 6 + 1 } - 72    ( j=1 to 6 )
= 30

下の表は上式で計算した ゴールまでにサイコロを振る回数の期待値、分散、標準偏差である。
マス数 n = 1000 でも回数の標準偏差は約 10 である。マス数の増加に対して、回数のばらつきの増加は緩慢である。
この理由を定性的に説明すると次のようになる。
マス数が大きくなるとサイコロを振る回数自体が増える。すると大数の法則で、出る目の平均のばらつきが減少する。
そのため、ゴールまでの回数はそれ程ばらつかないのである。

すごろくのマスの数
(ゴールを含まない)
n
サイコロを振る回数の期待値
E[xn]
分散
V[xn]
標準偏差
σn
66305.477
77305.477
87.16730.1395.49
97.36130.2865.503
107.58830.4275.516
117.85330.5385.526
128.16130.5775.53
138.52230.4865.521
148.77530.6245.534
159.04330.7385.544
169.32430.8235.552
179.61330.8825.557
189.90630.9245.561
1910.19730.9715.565
2010.47631.0655.574
2110.7631.1425.581
2211.04631.2095.587
2311.33331.2715.592
2411.6231.3335.598
2511.90531.4025.604
2612.1931.4765.61
2712.47631.5445.616
2812.76231.6115.622
2913.04831.6775.628
3013.33331.7455.634
3113.61931.8145.64
3213.90531.8835.646
3314.1931.955.652
3414.47632.0185.658
3514.76232.0865.664
3615.04832.1545.67
3715.33332.2225.676
3815.61932.295.682
3915.90532.3585.688
4016.1932.4265.694
4116.47632.4945.7
4216.76232.5625.706
4317.04832.635.712
4417.33332.6985.718
4517.61932.7665.724
4617.90532.8345.73
4718.1932.9025.736
4818.47632.9715.742
4918.76233.0395.748
5019.04833.1075.754
5119.33333.1755.76
5219.61933.2435.766
5319.90533.3115.772
5420.1933.3795.777
5520.47633.4475.783
5620.76233.5155.789
5721.04833.5835.795
5821.33333.6515.801
5921.61933.7195.807
6021.90533.7875.813
6122.1933.8555.818
6222.47633.9235.824
6322.76233.9915.83
6423.04834.0595.836
6523.33334.1275.842
6623.61934.1955.848
6723.90534.2635.853
6824.1934.3315.859
6924.47634.3995.865
7024.76234.4675.871
7125.04834.5355.877
7225.33334.6035.882
7325.61934.6715.888
7425.90534.7395.894
7526.1934.8075.9
7626.47634.8755.906
7726.76234.9435.911
7827.04835.0115.917
7927.33335.0795.923
8027.61935.1475.929
8127.90535.2155.934
8228.1935.2835.94
8328.47635.3515.946
8428.76235.425.951
8529.04835.4885.957
8629.33335.5565.963
8729.61935.6245.969
8829.90535.6925.974
8930.1935.765.98
9030.47635.8285.986
9130.76235.8965.991
9231.04835.9645.997
9331.33336.0326.003
9431.61936.16.008
9531.90536.1686.014
9632.1936.2366.02
9732.47636.3046.025
9832.76236.3726.031
9933.04836.446.037
10033.33336.5086.042
1000290.47697.7329.886
100002861.905709.97726.645