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サイコロの目の和がある値になるパターンを数え上げる

サイコロの目の和がある特定の値 (nとする) になるパターン数 (m_nとする) を数え上げる。
サイコロを振る回数には特に制限を設けない。
これは、直線状の nマス(ゴールのマスを含まない) のすごろくで過不足なくちょうどゴールするサイコロの目の全パターン数を求めることと等しい。

例えば、目の和が 10 になる組み合わせとしては、1回目に 6 が出て 2回目に 4 が出る場合がある。これを [6,4] と表記することとする。
逆の順番で、1回目に 4 が出て、2回目に 6 が出る場合もある。[4,6] である。 [6,4] と [4,6] は、それぞれ別のものとして数える。
1が 10回連続で出る場合もある。[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] である。

目の和が1の場合 (n=1)

[1] の 1通りだけある。
m₁ = 1

目の和が2の場合 (n=2)

[2], [1,1] の 2通りである。
m₂ = 2

目の和が3の場合 (n=3)

[3], [2,1], [1,2], [1,1,1] の 4通りである。
m₃ = 4

目の和が4の場合 (n=4)

[4], [3,1], [2,2], [1,3], [2,1,1], [1,2,1], [1,1,2], [1,1,1,1] の 8通りである。
m₄ = 8

目の和が5の場合 (n=5)

[5]
[4,1], [3,2], [2,3], [1,4],
[3,1,1], [1,3,1], [1,1,3], [2,2,1], [2,1,2], [1,2,2],
[2,1,1,1], [1,2,1,1], [1,1,2,1], [1,1,1,2],
[1,1,1,1,1]
の 16通りである。
m₅ = 16

目の和が6の場合 (n=6)

[6]
[5,1], [4,2], [3,3], [2,4], [1,5],
[4,1,1], [1,4,1], [1,1,4], [3,2,1], [3,1,2], [2,3,1], [2,1,3], [1,3,2], [1,2,3], [2,2,2],
[3,1,1,1], [1,3,1,1], [1,1,3,1], [1,1,1,3], [2,2,1,1], [2,1,2,1], [2,1,1,2], [1,2,2,1], [1,2,1,2], [1,1,2,2],
[2,1,1,1,1], [1,2,1,1,1], [1,1,2,1,1], [1,1,1,2,1], [1,1,1,1,2],
[1,1,1,1,1,1]
の 32通りである。
m₆ = 32
ここまでは、2のべき乗で増える。

一般化、目の和が7以上の場合 (n≧7)

n≧7 の場合は、次のパターンに分類できる。
これまでに出た目の和が n-1 になった後、1の目が出るパターン n = (n-1) + 1
これまでに出た目の和が n-2 になった後、2の目が出るパターン n = (n-2) + 2
これまでに出た目の和が n-3 になった後、3の目が出るパターン n = (n-3) + 3
これまでに出た目の和が n-4 になった後、4の目が出るパターン n = (n-4) + 4
これまでに出た目の和が n-5 になった後、5の目が出るパターン n = (n-5) + 5
これまでに出た目の和が n-6 になった後、6の目が出るパターン n = (n-6) + 6

よって和が n となる全パターン数は、漸化式で次のように書ける。
m_n = m_n-1 + m_n-2 + m_n-3 + m_n-4 + m_n-5 + m_n-6

この式で n=100 まで計算したものが下の表である。
ちなみに、m₇ = 63 ≠ 64 である。[7] というパターンはないからである。

サイコロの目の和 n	サイコロの目の全パターン数 mn
1	1
2	2
3	4
4	8
5	16
6	32
7	63
8	125
9	248
10	492
11	976
12	1936
13	3840
14	7617
15	15109 ≃ 1.511 × 104
16	29970 ≃ 2.997 × 104
17	59448 ≃ 5.945 × 104
18	117920 ≃ 1.179 × 105
19	233904 ≃ 2.339 × 105
20	463968 ≃ 4.64 × 105
21	920319 ≃ 9.203 × 105
22	1825529 ≃ 1.826 × 106
23	3621088 ≃ 3.621 × 106
24	7182728 ≃ 7.183 × 106
25	14247536 ≃ 1.425 × 107
26	28261168 ≃ 2.826 × 107
27	56058368 ≃ 5.606 × 107
28	111196417 ≃ 1.112 × 108
29	220567305 ≃ 2.206 × 108
30	437513522 ≃ 4.375 × 108
31	867844316 ≃ 8.678 × 108
32	1721441096 ≃ 1.721 × 109
33	3414621024 ≃ 3.415 × 109
34	6773183680 ≃ 6.773 × 109
35	13435170943 ≃ 1.344 × 1010
36	26649774581 ≃ 2.665 × 1010
37	52862035640 ≃ 5.286 × 1010
38	104856226964 ≃ 1.049 × 1011
39	207991012832 ≃ 2.08 × 1011
40	412567404640 ≃ 4.126 × 1011
41	818361625600 ≃ 8.184 × 1011
42	1623288080257 ≃ 1.623 × 1012
43	3219926385933 ≃ 3.22 × 1012
44	6386990736226 ≃ 6.387 × 1012
45	12669125245488 ≃ 1.267 × 1013
46	25130259478144 ≃ 2.513 × 1013
47	49847951551648 ≃ 4.985 × 1013
48	98877541477696 ≃ 9.888 × 1013
49	196131794875135 ≃ 1.961 × 1014
50	389043663364337 ≃ 3.89 × 1014
51	771700335992448 ≃ 7.717 × 1014
52	1530731546739408 ≃ 1.531 × 1015
53	3036332834000672 ≃ 3.036 × 1015
54	6022817716449696 ≃ 6.023 × 1015
55	11946757891421696 ≃ 1.195 × 1016
56	23697383987968257 ≃ 2.37 × 1016
57	47005724312572177 ≃ 4.701 × 1016
58	93239748289151906 ≃ 9.324 × 1016
59	184948765031564404 ≃ 1.849 × 1017
60	366861197229128136 ≃ 3.669 × 1017
61	727699576741806576 ≃ 7.277 × 1017
62	1443452395592191456 ≃ 1.443 × 1018
63	2863207407196414655 ≃ 2.863 × 1018
64	5679409090080257133 ≃ 5.679 × 1018
65	11265578431871362360 ≃ 1.127 × 1019
66	22346208098711160316 ≃ 2.235 × 1019
67	44325555000193192496 ≃ 4.433 × 1019
68	87923410423644578416 ≃ 8.792 × 1019
69	174403368451696965376 ≃ 1.744 × 1020
70	345943529496197516097 ≃ 3.459 × 1020
71	686207649902314775061 ≃ 6.862 × 1020
72	1361149721372758187762 ≃ 1.361 × 1021
73	2699953234646805215208 ≃ 2.7 × 1021
74	5355580914293417237920 ≃ 5.356 × 1021
75	10623238418163189897424 ≃ 1.062 × 1022
76	21072073467874682829472 ≃ 2.107 × 1022
77	41798203406253168142847 ≃ 4.18 × 1022
78	82910199162604021510633 ≃ 8.291 × 1022
79	164459248603835284833504 ≃ 1.645 × 1023
80	326218543973023764451800 ≃ 3.262 × 1023
81	647081507031754111665680 ≃ 6.471 × 1023
82	1283539775645345033433936 ≃ 1.284 × 1024
83	2546007477822815384038400 ≃ 2.546 × 1024
84	5050216752239377599933953 ≃ 5.05 × 1024
85	10017523305316151178357273 ≃ 1.002 × 1025
86	19870587362028467071881042 ≃ 1.987 × 1025
87	39414956180083910379310284 ≃ 3.941 × 1025
88	78182830853136066646954888 ≃ 7.818 × 1025
89	155082121930626788260475840 ≃ 1.551 × 1026
90	307618236383430761136913280 ≃ 3.076 × 1026
91	610186256014622144673892607 ≃ 6.102 × 1026
92	1210354988723928138169427941 ≃ 1.21 × 1027
93	2400839390085827809266974840 ≃ 2.401 × 1027
94	4762263823991571708154639396 ≃ 4.762 × 1027
95	9446344817130007349662323904 ≃ 9.446 × 1027
96	18737607512329387911064171968 ≃ 1.874 × 1028
97	37167596788275345060991430656 ≃ 3.717 × 1028
98	73725007320536067977308968705 ≃ 7.373 × 1028
99	146239659652348207816448509469 ≃ 1.462 × 1029
100	290078479914610587823630044098 ≃ 2.901 × 1029