前回は、サイコロの目の和がある特定の値 (nとする)になる場合のサイコロを振る回数 (mとする)のパターン数分布 h(n,m) を計算した。
これを利用してサイコロを振り続けた時、目の和がある特定の値 n になる確率を計算する。
これは、nマス (ゴールを含まない)のすごろくでゴールでの跳ね返りなしでちょうどゴールする確率を求めることと等しい。
目の和が n になるかどうかは、和が n未満の状態では分からない。以降の目の出方で決まるからである。
したがって和が n未満の間サイコロを振り続ける。和が n以上になった時、ちょうど n になったか、ならなかったか決まる。
サイコロを振る回数は自由だが、サイコロの目が 1 ~ 6 なので自ずと最小回数と最大回数は決まる。
どんなに少なくとも n/6 回は振る必要があるし、どんな多くとも n 回を超えることはない。
目の和がある特定の値となる出目の各パターンの出現頻度は等しくない。
例えば和が 4となるパターンは、[4], [3,1], [1,1,1,1] などがあるが確率は次のように異なる。
[4] 確率 (1/6)
[3,1] 確率 (1/6)2
[1,1,1,1] 確率 (1/6)4
サイコロの目の和が4(n=4) になる場合の確率は次式となる。
(1/6)4 × 1 + (1/6)3 × 3 + (1/6)2 × 3 + (1/6) × 1 = 0.26466…
一般化すると、さいころを振る回数が m である出目パターン 1個の出現確率は、(1/6)m となる。
和が n でさいころを振る回数が m である出目パターンのパターン数 h(n,m) は前回計算した。
和が n でさいころを振る回数が m である全出目パターンの出現確率は、h(n,m)・(1/6)m である。
よって、和が n となる全出目パターンの出現確率は、Σ h(n,m)・(1/6)m である。
さいころの出目の期待値は 3.5 である。1回振るたびに和は凡そ 3.5ずつ増加するので、
6 より十分大きな n に対して和がちょうど 100 になる確率は 1 / 3.5 ≈ 0.2857 程度と予測される。
サイコロを振る回数の最小値は、100/6 = 16.666… なので切り上げて 17回である。
サイコロを振る回数の最大値は 1が連続する場合なので、100回である。
さいころを振る回数 m | パターン数 h(n, m) | 1パターンの確率 (1/6)m | 全パターンの確率 h(n, m)・(1/6)m |
17 | 153 | 5.90784025203E-14 | 9.0389955856E-12 |
18 | 1078497 | 9.84640042005E-15 | 1.06193133138E-8 |
19 | 441784865 | 1.64106673667E-15 | 7.24998446718E-7 |
20 | 52968655260 | 2.73511122779E-16 | 1.44875163723E-5 |
21 | 3001638389211 | 4.55851871299E-17 | 0.000136830247668 |
22 | 100475168304764 | 7.59753118831E-18 | 0.000763363224846 |
23 | 2254565765372166 | 1.26625519805E-18 | 0.00285485561975 |
24 | 36756339355611144 | 2.11042533009E-19 | 0.00775715096173 |
25 | 460095994386015651 | 3.51737555014E-20 | 0.0161833040137 |
26 | 4602128615021068560 | 5.86229258357E-21 | 0.0269790244485 |
27 | 3.79068219228E+19 | 9.77048763929E-22 | 0.0370368135042 |
28 | 2.63179949407E+20 | 1.62841460655E-22 | 0.0428566073764 |
29 | 1.56897787522E+21 | 2.71402434425E-23 | 0.0425824414894 |
30 | 8.15338769086E+21 | 4.52337390708E-24 | 0.0368808211351 |
31 | 3.73936224527E+22 | 7.53895651179E-25 | 0.0281908893489 |
32 | 1.5292953632E+23 | 1.25649275197E-25 | 0.0192154853948 |
33 | 5.62626968749E+23 | 2.09415458661E-26 | 0.0117822784716 |
34 | 1.87598957477E+24 | 3.49025764435E-27 | 0.00654768695406 |
35 | 5.70579073699E+24 | 5.81709607392E-28 | 0.00331911328948 |
36 | 1.59184795242E+25 | 9.69516012319E-29 | 0.00154332207905 |
37 | 4.09359553168E+25 | 1.61586002053E-29 | 0.000661467735987 |
38 | 9.74507021094E+25 | 2.69310003422E-30 | 0.000262444489186 |
39 | 2.15566844845E+26 | 4.48850005703E-31 | 9.6757179538E-5 |
40 | 4.4457911943E+26 | 7.48083342839E-32 | 3.3258223382E-5 |
41 | 8.57389497135E+26 | 1.2468055714E-32 | 1.06899800189E-5 |
42 | 1.55031923322E+27 | 2.07800928566E-33 | 3.22157776238E-6 |
43 | 2.63455591557E+27 | 3.46334880944E-34 | 9.1243860936E-7 |
44 | 4.21656361873E+27 | 5.77224801573E-35 | 2.43390509814E-7 |
45 | 6.36796969658E+27 | 9.62041335955E-36 | 6.12625007422E-8 |
46 | 9.09024152761E+27 | 1.60340222659E-36 | 1.45753135056E-8 |
47 | 1.22841927227E+28 | 2.67233704432E-37 | 3.28275032724E-9 |
48 | 1.57365804989E+28 | 4.45389507387E-38 | 7.00890783637E-10 |
49 | 1.91337433914E+28 | 7.42315845645E-39 | 1.42032809059E-10 |
50 | 2.21050546909E+28 | 1.23719307607E-39 | 2.73482206098E-11 |
51 | 2.42889748125E+28 | 2.06198846012E-40 | 5.00835857717E-12 |
52 | 2.54055281707E+28 | 3.43664743354E-41 | 8.73098431857E-13 |
53 | 2.53150802494E+28 | 5.72774572257E-42 | 1.44998342615E-13 |
54 | 2.40464526397E+28 | 9.54624287094E-43 | 2.29553277083E-14 |
55 | 2.17867503211E+28 | 1.59104047849E-43 | 3.46636016556E-15 |
56 | 1.88371564882E+28 | 2.65173413082E-44 | 4.99511307874E-16 |
57 | 1.55487613727E+28 | 4.4195568847E-45 | 6.8718635373E-17 |
58 | 1.22567627097E+28 | 7.36592814116E-46 | 9.02824333632E-18 |
59 | 9.22920462804E+27 | 1.22765469019E-46 | 1.13302763484E-18 |
60 | 6.63954349023E+27 | 2.04609115032E-47 | 1.35851111775E-19 |
61 | 4.56397389238E+27 | 3.4101519172E-48 | 1.55638443192E-20 |
62 | 2.99773783521E+27 | 5.68358652867E-49 | 1.70379023767E-21 |
63 | 1.88136707372E+27 | 9.47264421446E-50 | 1.78215209261E-22 |
64 | 1.1280695388E+27 | 1.57877403574E-50 | 1.78096689838E-23 |
65 | 6.46104372361E+26 | 2.63129005957E-51 | 1.70008801244E-24 |
66 | 3.53398333268E+26 | 4.38548343262E-52 | 1.54982253566E-25 |
67 | 1.84535379055E+26 | 7.30913905436E-53 | 1.34879474596E-26 |
68 | 9.19545538035E+25 | 1.21818984239E-53 | 1.12018103405E-27 |
69 | 4.37054891155E+25 | 2.03031640399E-54 | 8.87359714956E-29 |
70 | 1.98026159662E+25 | 3.38386067332E-55 | 6.70092933967E-30 |
71 | 8.54771024822E+24 | 5.63976778886E-56 | 4.82071009264E-31 |
72 | 3.51232197135E+24 | 9.39961298144E-57 | 3.30144671969E-32 |
73 | 1.3727452466E+24 | 1.56660216357E-57 | 2.15054567336E-33 |
74 | 5.09828854913E+23 | 2.61100360595E-58 | 1.3311649786E-34 |
75 | 1.79736215258E+23 | 4.35167267659E-59 | 7.8215317693E-36 |
76 | 6.00768341417E+22 | 7.25278779432E-60 | 4.35724529384E-37 |
77 | 1.9013525773E+22 | 1.20879796572E-60 | 2.29835112755E-38 |
78 | 5.68932073246E+21 | 2.0146632762E-61 | 1.14620655462E-39 |
79 | 1.60688516362E+21 | 3.357772127E-62 | 5.3955542137E-41 |
80 | 4.27600315088E+20 | 5.59628687833E-63 | 2.3929740325E-42 |
81 | 1.06986448371E+20 | 9.32714479722E-64 | 9.97878095292E-44 |
82 | 2.51107409883E+19 | 1.55452413287E-64 | 3.90352528606E-45 |
83 | 5514552149248990323 | 2.59087355478E-65 | 1.428750733E-46 |
84 | 1129844264794151004 | 4.31812259131E-66 | 4.87880604446E-48 |
85 | 215255944979981669 | 7.19687098551E-67 | 1.54916926488E-49 |
86 | 37992012352222173 | 1.19947849758E-67 | 4.55706018965E-51 |
87 | 6185347769998143 | 1.99913082931E-68 | 1.2365319417E-52 |
88 | 924303447375132 | 3.33188471551E-69 | 3.07967252881E-54 |
89 | 126045900688617 | 5.55314119252E-70 | 6.99950683262E-56 |
90 | 15579015734646 | 9.25523532087E-71 | 1.44187456692E-57 |
91 | 1731019136938 | 1.54253922014E-71 | 2.67016490955E-59 |
92 | 171200469180 | 2.57089870024E-72 | 4.40139063696E-61 |
93 | 14887022895 | 4.28483116707E-73 | 6.37883796854E-63 |
94 | 1120529162 | 7.14138527845E-74 | 8.00213046158E-65 |
95 | 71523144 | 1.19023087974E-74 | 8.5129054605E-67 |
96 | 3764376 | 1.9837181329E-75 | 7.46746093026E-69 |
97 | 156849 | 3.30619688817E-76 | 5.18573675713E-71 |
98 | 4851 | 5.51032814695E-77 | 2.67306018409E-73 |
99 | 99 | 9.18388024492E-78 | 9.09204144247E-76 |
100 | 1 | 1.53064670749E-78 | 1.53064670749E-78 |
確率の和 Σ h(n, m)・(1/6)m | 0.285714285714 |
目の和が 100にならない場合は、和が 100未満の次に 101~ 105になる場合に分けることができる。
和が 100未満の次に 101になる場合は、99+2, 98+3, 97+4, 96+5, 95+6 のバターンからなる。
よって、和が 100未満の次に 101になる確率 p101 は、次式で求めることができる。
p101 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m + Σ h(98, m)・(1/6)m + Σ h(97, m)・(1/6)m + Σ h(96, m)・(1/6)m + Σ h(95, m)・(1/6)m }
102 ~ 105の場合についても同様に計算できる。
p102 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m + Σ h(98, m)・(1/6)m + Σ h(97, m)・(1/6)m + Σ h(96, m)・(1/6)m}
p103 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m + Σ h(98, m)・(1/6)m + Σ h(97, m)・(1/6)m}
p104 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m + Σ h(98, m)・(1/6)m}
p105 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m}
計算結果が下の表である。
Case | 確率 | |
和が100になる場合 | 0.285714285714 (≈1/3.5) | |
和が100にならない場合 | 100未満の次に101になる場合 | 0.238095238095 (≈1/3.5×5/6) |
100未満の次に102になる場合 | 0.190476190476 (≈1/3.5×4/6) | |
100未満の次に103になる場合 | 0.142857142857 (≈1/3.5×3/6) | |
100未満の次に104になる場合 | 0.0952380952381 (≈1/3.5×2/6) | |
100未満の次に105になる場合 | 0.047619047619 (≈1/3.5×1/6) | |
すべての場合 | 1 |
サイコロの目の和 n | パターン数 Σ h(n, m) | 確率 Σ h(n, m)・(1/6)m |
1 | 1 | 0.166666666667 |
2 | 2 | 0.194444444444 |
3 | 4 | 0.226851851852 |
4 | 8 | 0.264660493827 |
5 | 16 | 0.308770576132 |
6 | 32 | 0.36023233882 |
7 | 63 | 0.25360439529 |
8 | 125 | 0.268094016728 |
9 | 248 | 0.280368945441 |
10 | 492 | 0.28928846104 |
11 | 976 | 0.293393122242 |
12 | 1936 | 0.29083021326 |
13 | 3840 | 0.279263192334 |
14 | 7617 | 0.283539658507 |
15 | 15109 ≈ 1.511 × 104 | 0.286113932137 |
16 | 29970 ≈ 2.997 × 104 | 0.28707142992 |
17 | 59448 ≈ 5.945 × 104 | 0.286701924733 |
18 | 117920 ≈ 1.179 × 105 | 0.285586725149 |
19 | 233904 ≈ 2.339 × 105 | 0.284712810463 |
20 | 463968 ≈ 4.64 × 105 | 0.285621080152 |
21 | 920319 ≈ 9.203 × 105 | 0.285967983759 |
22 | 1825529 ≈ 1.826 × 106 | 0.285943659029 |
23 | 3621088 ≈ 3.621 × 106 | 0.285755697214 |
24 | 7182728 ≈ 7.183 × 106 | 0.285597992628 |
25 | 14247536 ≈ 1.425 × 107 | 0.285599870541 |
26 | 28261168 ≈ 2.826 × 107 | 0.285747713887 |
27 | 56058368 ≈ 5.606 × 107 | 0.28576881951 |
28 | 111196417 ≈ 1.112 × 108 | 0.285735625468 |
29 | 220567305 ≈ 2.206 × 108 | 0.285700953208 |
30 | 437513522 ≈ 4.375 × 108 | 0.285691829207 |
31 | 867844316 ≈ 8.678 × 108 | 0.285707468637 |
32 | 1721441096 ≈ 1.721 × 109 | 0.285725401653 |
33 | 3414621024 ≈ 3.415 × 109 | 0.285721682947 |
34 | 6773183680 ≈ 6.773 × 109 | 0.285713826853 |
35 | 13435170943 ≈ 1.344 × 1010 | 0.285710193751 |
36 | 26649774581 ≈ 2.665 × 1010 | 0.285711733841 |
37 | 52862035640 ≈ 5.286 × 1010 | 0.28571505128 |
38 | 104856226964 ≈ 1.049 × 1011 | 0.285716315054 |
39 | 207991012832 ≈ 2.08 × 1011 | 0.285714800621 |
40 | 412567404640 ≈ 4.126 × 1011 | 0.285713653567 |
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