Top
関連リンク サイコロの目の和がある値になるパターンを数え上げる
関連リンク サイコロの目の和がある特定の値になる場合のサイコロを振る回数の分布
関連リンク すごろくでサイコロを何回振ればゴールできるか? マス数とターン数の関係

サイコロを振り続けた時、目の和がある特定の値になる確率

前回は、サイコロの目の和がある特定の値 (nとする)になる場合のサイコロを振る回数 (mとする)のパターン数分布 h(n,m) を計算した。
これを利用してサイコロを振り続けた時、目の和がある特定の値 n になる確率を計算する。
これは、nマス (ゴールを含まない)のすごろくでゴールでの跳ね返りなしでちょうどゴールする確率を求めることと等しい。
目の和が n になるかどうかは、和が n未満の状態では分からない。以降の目の出方で決まるからである。
したがって和が n未満の間サイコロを振り続ける。和が n以上になった時、ちょうど n になったか、ならなかったか決まる。
サイコロを振る回数は自由だが、サイコロの目が 1 ~ 6 なので自ずと最小回数と最大回数は決まる。
どんなに少なくとも n/6 回は振る必要があるし、どんな多くとも n 回を超えることはない。

出目のパターンと確率

目の和がある特定の値となる出目の各パターンの出現頻度は等しくない。
例えば和が 4となるパターンは、[4], [3,1], [1,1,1,1] などがあるが確率は次のように異なる。
[4]  確率 (1/6)
[3,1]  確率 (1/6)2
[1,1,1,1]  確率 (1/6)4



サイコロの目の和が4(n=4) になる場合の確率は次式となる。
 (1/6)4 × 1 + (1/6)3 × 3 + (1/6)2 × 3 + (1/6) × 1 = 0.26466…

一般化すると、さいころを振る回数が m である出目パターン 1個の出現確率は、(1/6)m となる。
和が n でさいころを振る回数が m である出目パターンのパターン数 h(n,m) は前回計算した。
和が n でさいころを振る回数が m である全出目パターンの出現確率は、h(n,m)・(1/6)m である。
よって、和が n となる全出目パターンの出現確率は、Σ h(n,m)・(1/6)m である。

目の和が 100 (n=100) となる確率の計算例

概算

さいころの出目の期待値は 3.5 である。1回振るたびに和は凡そ 3.5ずつ増加するので、
6 より十分大きな n に対して和がちょうど 100 になる確率は 1 / 3.5 ≈ 0.2857 程度と予測される。
サイコロを振る回数の最小値は、100/6 = 16.666… なので切り上げて 17回である。
サイコロを振る回数の最大値は 1が連続する場合なので、100回である。

正確な計算結果

さいころを振る回数
m
パターン数
h(n, m)
1パターンの確率
(1/6)m
全パターンの確率
h(n, m)・(1/6)m
171535.90784025203E-149.0389955856E-12
1810784979.84640042005E-151.06193133138E-8
194417848651.64106673667E-157.24998446718E-7
20529686552602.73511122779E-161.44875163723E-5
2130016383892114.55851871299E-170.000136830247668
221004751683047647.59753118831E-180.000763363224846
2322545657653721661.26625519805E-180.00285485561975
24367563393556111442.11042533009E-190.00775715096173
254600959943860156513.51737555014E-200.0161833040137
2646021286150210685605.86229258357E-210.0269790244485
273.79068219228E+199.77048763929E-220.0370368135042
282.63179949407E+201.62841460655E-220.0428566073764
291.56897787522E+212.71402434425E-230.0425824414894
308.15338769086E+214.52337390708E-240.0368808211351
313.73936224527E+227.53895651179E-250.0281908893489
321.5292953632E+231.25649275197E-250.0192154853948
335.62626968749E+232.09415458661E-260.0117822784716
341.87598957477E+243.49025764435E-270.00654768695406
355.70579073699E+245.81709607392E-280.00331911328948
361.59184795242E+259.69516012319E-290.00154332207905
374.09359553168E+251.61586002053E-290.000661467735987
389.74507021094E+252.69310003422E-300.000262444489186
392.15566844845E+264.48850005703E-319.6757179538E-5
404.4457911943E+267.48083342839E-323.3258223382E-5
418.57389497135E+261.2468055714E-321.06899800189E-5
421.55031923322E+272.07800928566E-333.22157776238E-6
432.63455591557E+273.46334880944E-349.1243860936E-7
444.21656361873E+275.77224801573E-352.43390509814E-7
456.36796969658E+279.62041335955E-366.12625007422E-8
469.09024152761E+271.60340222659E-361.45753135056E-8
471.22841927227E+282.67233704432E-373.28275032724E-9
481.57365804989E+284.45389507387E-387.00890783637E-10
491.91337433914E+287.42315845645E-391.42032809059E-10
502.21050546909E+281.23719307607E-392.73482206098E-11
512.42889748125E+282.06198846012E-405.00835857717E-12
522.54055281707E+283.43664743354E-418.73098431857E-13
532.53150802494E+285.72774572257E-421.44998342615E-13
542.40464526397E+289.54624287094E-432.29553277083E-14
552.17867503211E+281.59104047849E-433.46636016556E-15
561.88371564882E+282.65173413082E-444.99511307874E-16
571.55487613727E+284.4195568847E-456.8718635373E-17
581.22567627097E+287.36592814116E-469.02824333632E-18
599.22920462804E+271.22765469019E-461.13302763484E-18
606.63954349023E+272.04609115032E-471.35851111775E-19
614.56397389238E+273.4101519172E-481.55638443192E-20
622.99773783521E+275.68358652867E-491.70379023767E-21
631.88136707372E+279.47264421446E-501.78215209261E-22
641.1280695388E+271.57877403574E-501.78096689838E-23
656.46104372361E+262.63129005957E-511.70008801244E-24
663.53398333268E+264.38548343262E-521.54982253566E-25
671.84535379055E+267.30913905436E-531.34879474596E-26
689.19545538035E+251.21818984239E-531.12018103405E-27
694.37054891155E+252.03031640399E-548.87359714956E-29
701.98026159662E+253.38386067332E-556.70092933967E-30
718.54771024822E+245.63976778886E-564.82071009264E-31
723.51232197135E+249.39961298144E-573.30144671969E-32
731.3727452466E+241.56660216357E-572.15054567336E-33
745.09828854913E+232.61100360595E-581.3311649786E-34
751.79736215258E+234.35167267659E-597.8215317693E-36
766.00768341417E+227.25278779432E-604.35724529384E-37
771.9013525773E+221.20879796572E-602.29835112755E-38
785.68932073246E+212.0146632762E-611.14620655462E-39
791.60688516362E+213.357772127E-625.3955542137E-41
804.27600315088E+205.59628687833E-632.3929740325E-42
811.06986448371E+209.32714479722E-649.97878095292E-44
822.51107409883E+191.55452413287E-643.90352528606E-45
8355145521492489903232.59087355478E-651.428750733E-46
8411298442647941510044.31812259131E-664.87880604446E-48
852152559449799816697.19687098551E-671.54916926488E-49
86379920123522221731.19947849758E-674.55706018965E-51
8761853477699981431.99913082931E-681.2365319417E-52
889243034473751323.33188471551E-693.07967252881E-54
891260459006886175.55314119252E-706.99950683262E-56
90155790157346469.25523532087E-711.44187456692E-57
9117310191369381.54253922014E-712.67016490955E-59
921712004691802.57089870024E-724.40139063696E-61
93148870228954.28483116707E-736.37883796854E-63
9411205291627.14138527845E-748.00213046158E-65
95715231441.19023087974E-748.5129054605E-67
9637643761.9837181329E-757.46746093026E-69
971568493.30619688817E-765.18573675713E-71
9848515.51032814695E-772.67306018409E-73
99999.18388024492E-789.09204144247E-76
10011.53064670749E-781.53064670749E-78
確率の和 Σ h(n, m)・(1/6)m0.285714285714

100にならない場合の場合分け

目の和が 100にならない場合は、和が 100未満の次に 101~ 105になる場合に分けることができる。
和が 100未満の次に 101になる場合は、99+2, 98+3, 97+4, 96+5, 95+6 のバターンからなる。
よって、和が 100未満の次に 101になる確率 p101 は、次式で求めることができる。
p101 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m + Σ h(98, m)・(1/6)m + Σ h(97, m)・(1/6)m + Σ h(96, m)・(1/6)m + Σ h(95, m)・(1/6)m }

102 ~ 105の場合についても同様に計算できる。
p102 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m + Σ h(98, m)・(1/6)m + Σ h(97, m)・(1/6)m + Σ h(96, m)・(1/6)m}
p103 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m + Σ h(98, m)・(1/6)m + Σ h(97, m)・(1/6)m}
p104 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m + Σ h(98, m)・(1/6)m}
p105 = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)m}
計算結果が下の表である。

Case確率
和が100になる場合0.285714285714 (≈1/3.5)
和が100にならない場合100未満の次に101になる場合0.238095238095 (≈1/3.5×5/6)
100未満の次に102になる場合0.190476190476 (≈1/3.5×4/6)
100未満の次に103になる場合0.142857142857 (≈1/3.5×3/6)
100未満の次に104になる場合0.0952380952381 (≈1/3.5×2/6)
100未満の次に105になる場合0.047619047619 (≈1/3.5×1/6)
すべての場合1

サイコロを振り続けてサイコロの目の和が 1~ 100になる確率の一覧表

サイコロの目の和 n パターン数 Σ h(n, m) 確率 Σ h(n, m)・(1/6)m
110.166666666667
220.194444444444
340.226851851852
480.264660493827
5160.308770576132
6320.36023233882
7630.25360439529
81250.268094016728
92480.280368945441
104920.28928846104
119760.293393122242
1219360.29083021326
1338400.279263192334
1476170.283539658507
1515109 ≈ 1.511 × 1040.286113932137
1629970 ≈ 2.997 × 1040.28707142992
1759448 ≈ 5.945 × 1040.286701924733
18117920 ≈ 1.179 × 1050.285586725149
19233904 ≈ 2.339 × 1050.284712810463
20463968 ≈ 4.64 × 1050.285621080152
21920319 ≈ 9.203 × 1050.285967983759
221825529 ≈ 1.826 × 1060.285943659029
233621088 ≈ 3.621 × 1060.285755697214
247182728 ≈ 7.183 × 1060.285597992628
2514247536 ≈ 1.425 × 1070.285599870541
2628261168 ≈ 2.826 × 1070.285747713887
2756058368 ≈ 5.606 × 1070.28576881951
28111196417 ≈ 1.112 × 1080.285735625468
29220567305 ≈ 2.206 × 1080.285700953208
30437513522 ≈ 4.375 × 1080.285691829207
31867844316 ≈ 8.678 × 1080.285707468637
321721441096 ≈ 1.721 × 1090.285725401653
333414621024 ≈ 3.415 × 1090.285721682947
346773183680 ≈ 6.773 × 1090.285713826853
3513435170943 ≈ 1.344 × 10100.285710193751
3626649774581 ≈ 2.665 × 10100.285711733841
3752862035640 ≈ 5.286 × 10100.28571505128
38104856226964 ≈ 1.049 × 10110.285716315054
39207991012832 ≈ 2.08 × 10110.285714800621
40412567404640 ≈ 4.126 × 10110.285713653567
41818361625600 ≈ 8.184 × 10110.285713624686
421623288080257 ≈ 1.623 × 10120.285714196508
433219926385933 ≈ 3.22 × 10120.285714606953
446386990736226 ≈ 6.387 × 10120.285714532898
4512669125245488 ≈ 1.267 × 10130.285714235872
4625130259478144 ≈ 2.513 × 10130.285714141747
4749847951551648 ≈ 4.985 × 10130.285714223111
4898877541477696 ≈ 9.888 × 10130.285714322848
49196131794875135 ≈ 1.961 × 10140.285714343905
50389043663364337 ≈ 3.89 × 10140.285714300064
51771700335992448 ≈ 7.717 × 10140.285714261258
521530731546739408 ≈ 1.531 × 10150.285714265489
533036332834000672 ≈ 3.036 × 10150.285714286112
546022817716449696 ≈ 6.023 × 10150.285714296613
5511946757891421696 ≈ 1.195 × 10160.28571429224
5623697383987968257 ≈ 2.37 × 10160.285714283629
5747005724312572177 ≈ 4.701 × 10160.28571428089
5893239748289151906 ≈ 9.324 × 10160.285714284162
59184948765031564404 ≈ 1.849 × 10170.285714287275
60366861197229128136 ≈ 3.669 × 10170.285714287468
61727699576741806576 ≈ 7.277 × 10170.285714285944
621443452395592191456 ≈ 1.443 × 10180.285714284895
632863207407196414655 ≈ 2.863 × 10180.285714285106
645679409090080257133 ≈ 5.679 × 10180.285714285808
6511265578431871362360 ≈ 1.127 × 10190.285714286083
6622346208098711160316 ≈ 2.235 × 10190.285714285884
6744325555000193192496 ≈ 4.433 × 10190.28571428562
6887923410423644578416 ≈ 8.792 × 10190.285714285566
69174403368451696965376 ≈ 1.744 × 10200.285714285678
70345943529496197516097 ≈ 3.459 × 10200.285714285773
71686207649902314775061 ≈ 6.862 × 10200.285714285767
721361149721372758187762 ≈ 1.361 × 10210.285714285715
732699953234646805215208 ≈ 2.7 × 10210.285714285686
745355580914293417237920 ≈ 5.356 × 10210.285714285697
7510623238418163189897424 ≈ 1.062 × 10220.285714285719
7621072073467874682829472 ≈ 2.107 × 10220.285714285726
7741798203406253168142847 ≈ 4.18 × 10220.285714285719
7882910199162604021510633 ≈ 8.291 × 10220.28571428571
79164459248603835284833504 ≈ 1.645 × 10230.28571428571
80326218543973023764451800 ≈ 3.262 × 10230.285714285714
81647081507031754111665680 ≈ 6.471 × 10230.285714285716
821283539775645345033433936 ≈ 1.284 × 10240.285714285716
832546007477822815384038400 ≈ 2.546 × 10240.285714285714
845050216752239377599933953 ≈ 5.05 × 10240.285714285713
8510017523305316151178357273 ≈ 1.002 × 10250.285714285714
8619870587362028467071881042 ≈ 1.987 × 10250.285714285715
8739414956180083910379310284 ≈ 3.941 × 10250.285714285715
8878182830853136066646954888 ≈ 7.818 × 10250.285714285714
89155082121930626788260475840 ≈ 1.551 × 10260.285714285714
90307618236383430761136913280 ≈ 3.076 × 10260.285714285714
91610186256014622144673892607 ≈ 6.102 × 10260.285714285714
921210354988723928138169427941 ≈ 1.21 × 10270.285714285714
932400839390085827809266974840 ≈ 2.401 × 10270.285714285714
944762263823991571708154639396 ≈ 4.762 × 10270.285714285714
959446344817130007349662323904 ≈ 9.446 × 10270.285714285714
9618737607512329387911064171968 ≈ 1.874 × 10280.285714285714
9737167596788275345060991430656 ≈ 3.717 × 10280.285714285714
9873725007320536067977308968705 ≈ 7.373 × 10280.285714285714
99146239659652348207816448509469 ≈ 1.462 × 10290.285714285714
100290078479914610587823630044098 ≈ 2.901 × 10290.285714285714