サイコロを振り続けた時、目の和がある特定の値になる確率

前回は、サイコロの目の和がある特定の値 (nとする)になる場合のサイコロを振る回数 (mとする)のパターン数分布 h(n,m) を計算した。
これを利用してサイコロを振り続けた時、目の和がある特定の値 n になる確率を計算する。
これは、nマス (ゴールを含まない)のすごろくでゴールでの跳ね返りなしでちょうどゴールする確率を求めることと等しい。
目の和が n になるかどうかは、和が n未満の状態では分からない。以降の目の出方で決まるからである。
したがって和が n未満の間サイコロを振り続ける。和が n以上になった時、ちょうど n になったか、ならなかったか決まる。
サイコロを振る回数は自由だが、サイコロの目が 1 ～ 6 なので自ずと最小回数と最大回数は決まる。
どんなに少なくとも n/6 回は振る必要があるし、どんな多くとも n 回を超えることはない。

出目のパターンと確率

目の和がある特定の値となる出目の各パターンの出現頻度は等しくない。
例えば和が 4となるパターンは、[4], [3,1], [1,1,1,1] などがあるが確率は次のように異なる。
[4]　確率 (1/6)
[3,1]　確率 (1/6)²
[1,1,1,1] 　確率 (1/6)⁴

サイコロの目の和が4(n=4) になる場合の確率は次式となる。
　(1/6)⁴ × 1 + (1/6)³ × 3 + (1/6)² × 3 + (1/6) × 1 = 0.26466…

一般化すると、さいころを振る回数が m である出目パターン 1個の出現確率は、(1/6)^m となる。
和が n でさいころを振る回数が m である出目パターンのパターン数 h(n,m) は前回計算した。
和が n でさいころを振る回数が m である全出目パターンの出現確率は、h(n,m)・(1/6)^m である。
よって、和が n となる全出目パターンの出現確率は、Σ h(n,m)・(1/6)^m である。

目の和が 100 (n=100) となる確率の計算例

概算

さいころの出目の期待値は 3.5 である。1回振るたびに和は凡そ 3.5ずつ増加するので、
6 より十分大きな n に対して和がちょうど 100 になる確率は 1 / 3.5 ≈ 0.2857 程度と予測される。
サイコロを振る回数の最小値は、100/6 = 16.666… なので切り上げて 17回である。
サイコロを振る回数の最大値は 1が連続する場合なので、100回である。

正確な計算結果

さいころを振る回数 m	パターン数 h(n, m)	1パターンの確率 (1/6)^m	全パターンの確率 h(n, m)・(1/6)^m
17	153	5.90784025203E-14	9.0389955856E-12
18	1078497	9.84640042005E-15	1.06193133138E-8
19	441784865	1.64106673667E-15	7.24998446718E-7
20	52968655260	2.73511122779E-16	1.44875163723E-5
21	3001638389211	4.55851871299E-17	0.000136830247668
22	100475168304764	7.59753118831E-18	0.000763363224846
23	2254565765372166	1.26625519805E-18	0.00285485561975
24	36756339355611144	2.11042533009E-19	0.00775715096173
25	460095994386015651	3.51737555014E-20	0.0161833040137
26	4602128615021068560	5.86229258357E-21	0.0269790244485
27	3.79068219228E+19	9.77048763929E-22	0.0370368135042
28	2.63179949407E+20	1.62841460655E-22	0.0428566073764
29	1.56897787522E+21	2.71402434425E-23	0.0425824414894
30	8.15338769086E+21	4.52337390708E-24	0.0368808211351
31	3.73936224527E+22	7.53895651179E-25	0.0281908893489
32	1.5292953632E+23	1.25649275197E-25	0.0192154853948
33	5.62626968749E+23	2.09415458661E-26	0.0117822784716
34	1.87598957477E+24	3.49025764435E-27	0.00654768695406
35	5.70579073699E+24	5.81709607392E-28	0.00331911328948
36	1.59184795242E+25	9.69516012319E-29	0.00154332207905
37	4.09359553168E+25	1.61586002053E-29	0.000661467735987
38	9.74507021094E+25	2.69310003422E-30	0.000262444489186
39	2.15566844845E+26	4.48850005703E-31	9.6757179538E-5
40	4.4457911943E+26	7.48083342839E-32	3.3258223382E-5
41	8.57389497135E+26	1.2468055714E-32	1.06899800189E-5
42	1.55031923322E+27	2.07800928566E-33	3.22157776238E-6
43	2.63455591557E+27	3.46334880944E-34	9.1243860936E-7
44	4.21656361873E+27	5.77224801573E-35	2.43390509814E-7
45	6.36796969658E+27	9.62041335955E-36	6.12625007422E-8
46	9.09024152761E+27	1.60340222659E-36	1.45753135056E-8
47	1.22841927227E+28	2.67233704432E-37	3.28275032724E-9
48	1.57365804989E+28	4.45389507387E-38	7.00890783637E-10
49	1.91337433914E+28	7.42315845645E-39	1.42032809059E-10
50	2.21050546909E+28	1.23719307607E-39	2.73482206098E-11
51	2.42889748125E+28	2.06198846012E-40	5.00835857717E-12
52	2.54055281707E+28	3.43664743354E-41	8.73098431857E-13
53	2.53150802494E+28	5.72774572257E-42	1.44998342615E-13
54	2.40464526397E+28	9.54624287094E-43	2.29553277083E-14
55	2.17867503211E+28	1.59104047849E-43	3.46636016556E-15
56	1.88371564882E+28	2.65173413082E-44	4.99511307874E-16
57	1.55487613727E+28	4.4195568847E-45	6.8718635373E-17
58	1.22567627097E+28	7.36592814116E-46	9.02824333632E-18
59	9.22920462804E+27	1.22765469019E-46	1.13302763484E-18
60	6.63954349023E+27	2.04609115032E-47	1.35851111775E-19
61	4.56397389238E+27	3.4101519172E-48	1.55638443192E-20
62	2.99773783521E+27	5.68358652867E-49	1.70379023767E-21
63	1.88136707372E+27	9.47264421446E-50	1.78215209261E-22
64	1.1280695388E+27	1.57877403574E-50	1.78096689838E-23
65	6.46104372361E+26	2.63129005957E-51	1.70008801244E-24
66	3.53398333268E+26	4.38548343262E-52	1.54982253566E-25
67	1.84535379055E+26	7.30913905436E-53	1.34879474596E-26
68	9.19545538035E+25	1.21818984239E-53	1.12018103405E-27
69	4.37054891155E+25	2.03031640399E-54	8.87359714956E-29
70	1.98026159662E+25	3.38386067332E-55	6.70092933967E-30
71	8.54771024822E+24	5.63976778886E-56	4.82071009264E-31
72	3.51232197135E+24	9.39961298144E-57	3.30144671969E-32
73	1.3727452466E+24	1.56660216357E-57	2.15054567336E-33
74	5.09828854913E+23	2.61100360595E-58	1.3311649786E-34
75	1.79736215258E+23	4.35167267659E-59	7.8215317693E-36
76	6.00768341417E+22	7.25278779432E-60	4.35724529384E-37
77	1.9013525773E+22	1.20879796572E-60	2.29835112755E-38
78	5.68932073246E+21	2.0146632762E-61	1.14620655462E-39
79	1.60688516362E+21	3.357772127E-62	5.3955542137E-41
80	4.27600315088E+20	5.59628687833E-63	2.3929740325E-42
81	1.06986448371E+20	9.32714479722E-64	9.97878095292E-44
82	2.51107409883E+19	1.55452413287E-64	3.90352528606E-45
83	5514552149248990323	2.59087355478E-65	1.428750733E-46
84	1129844264794151004	4.31812259131E-66	4.87880604446E-48
85	215255944979981669	7.19687098551E-67	1.54916926488E-49
86	37992012352222173	1.19947849758E-67	4.55706018965E-51
87	6185347769998143	1.99913082931E-68	1.2365319417E-52
88	924303447375132	3.33188471551E-69	3.07967252881E-54
89	126045900688617	5.55314119252E-70	6.99950683262E-56
90	15579015734646	9.25523532087E-71	1.44187456692E-57
91	1731019136938	1.54253922014E-71	2.67016490955E-59
92	171200469180	2.57089870024E-72	4.40139063696E-61
93	14887022895	4.28483116707E-73	6.37883796854E-63
94	1120529162	7.14138527845E-74	8.00213046158E-65
95	71523144	1.19023087974E-74	8.5129054605E-67
96	3764376	1.9837181329E-75	7.46746093026E-69
97	156849	3.30619688817E-76	5.18573675713E-71
98	4851	5.51032814695E-77	2.67306018409E-73
99	99	9.18388024492E-78	9.09204144247E-76
100	1	1.53064670749E-78	1.53064670749E-78
確率の和　Σ h(n, m)・(1/6)^m			0.285714285714

100にならない場合の場合分け

目の和が 100にならない場合は、和が 100未満の次に 101～ 105になる場合に分けることができる。
和が 100未満の次に 101になる場合は、99+2, 98+3, 97+4, 96+5, 95+6 のバターンからなる。
よって、和が 100未満の次に 101になる確率 p₁₀₁ は、次式で求めることができる。
p₁₀₁ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m + Σ h(98, m)・(1/6)^m + Σ h(97, m)・(1/6)^m + Σ h(96, m)・(1/6)^m + Σ h(95, m)・(1/6)^m }

102 ～ 105の場合についても同様に計算できる。
p₁₀₂ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m + Σ h(98, m)・(1/6)^m + Σ h(97, m)・(1/6)^m + Σ h(96, m)・(1/6)^m}
p₁₀₃ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m + Σ h(98, m)・(1/6)^m + Σ h(97, m)・(1/6)^m}
p₁₀₄ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m + Σ h(98, m)・(1/6)^m}
p₁₀₅ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m}
計算結果が下の表である。

Case		確率
和が100になる場合		0.285714285714 (≈1/3.5)
和が100にならない場合	100未満の次に101になる場合	0.238095238095 (≈1/3.5×5/6)
	100未満の次に102になる場合	0.190476190476 (≈1/3.5×4/6)
	100未満の次に103になる場合	0.142857142857 (≈1/3.5×3/6)
	100未満の次に104になる場合	0.0952380952381 (≈1/3.5×2/6)
	100未満の次に105になる場合	0.047619047619 (≈1/3.5×1/6)
すべての場合		1

サイコロを振り続けてサイコロの目の和が 1～ 100になる確率の一覧表

サイコロの目の和 n	パターン数 Σ h(n, m)	確率 Σ h(n, m)・(1/6)^m
1	1	0.166666666667
2	2	0.194444444444
3	4	0.226851851852
4	8	0.264660493827
5	16	0.308770576132
6	32	0.36023233882
7	63	0.25360439529
8	125	0.268094016728
9	248	0.280368945441
10	492	0.28928846104
11	976	0.293393122242
12	1936	0.29083021326
13	3840	0.279263192334
14	7617	0.283539658507
15	15109 ≈ 1.511 × 10⁴	0.286113932137
16	29970 ≈ 2.997 × 10⁴	0.28707142992
17	59448 ≈ 5.945 × 10⁴	0.286701924733
18	117920 ≈ 1.179 × 10⁵	0.285586725149
19	233904 ≈ 2.339 × 10⁵	0.284712810463
20	463968 ≈ 4.64 × 10⁵	0.285621080152
21	920319 ≈ 9.203 × 10⁵	0.285967983759
22	1825529 ≈ 1.826 × 10⁶	0.285943659029
23	3621088 ≈ 3.621 × 10⁶	0.285755697214
24	7182728 ≈ 7.183 × 10⁶	0.285597992628
25	14247536 ≈ 1.425 × 10⁷	0.285599870541
26	28261168 ≈ 2.826 × 10⁷	0.285747713887
27	56058368 ≈ 5.606 × 10⁷	0.28576881951
28	111196417 ≈ 1.112 × 10⁸	0.285735625468
29	220567305 ≈ 2.206 × 10⁸	0.285700953208
30	437513522 ≈ 4.375 × 10⁸	0.285691829207
31	867844316 ≈ 8.678 × 10⁸	0.285707468637
32	1721441096 ≈ 1.721 × 10⁹	0.285725401653
33	3414621024 ≈ 3.415 × 10⁹	0.285721682947
34	6773183680 ≈ 6.773 × 10⁹	0.285713826853
35	13435170943 ≈ 1.344 × 10¹⁰	0.285710193751
36	26649774581 ≈ 2.665 × 10¹⁰	0.285711733841
37	52862035640 ≈ 5.286 × 10¹⁰	0.28571505128
38	104856226964 ≈ 1.049 × 10¹¹	0.285716315054
39	207991012832 ≈ 2.08 × 10¹¹	0.285714800621
40	412567404640 ≈ 4.126 × 10¹¹	0.285713653567
41	818361625600 ≈ 8.184 × 10¹¹	0.285713624686
42	1623288080257 ≈ 1.623 × 10¹²	0.285714196508
43	3219926385933 ≈ 3.22 × 10¹²	0.285714606953
44	6386990736226 ≈ 6.387 × 10¹²	0.285714532898
45	12669125245488 ≈ 1.267 × 10¹³	0.285714235872
46	25130259478144 ≈ 2.513 × 10¹³	0.285714141747
47	49847951551648 ≈ 4.985 × 10¹³	0.285714223111
48	98877541477696 ≈ 9.888 × 10¹³	0.285714322848
49	196131794875135 ≈ 1.961 × 10¹⁴	0.285714343905
50	389043663364337 ≈ 3.89 × 10¹⁴	0.285714300064
51	771700335992448 ≈ 7.717 × 10¹⁴	0.285714261258
52	1530731546739408 ≈ 1.531 × 10¹⁵	0.285714265489
53	3036332834000672 ≈ 3.036 × 10¹⁵	0.285714286112
54	6022817716449696 ≈ 6.023 × 10¹⁵	0.285714296613
55	11946757891421696 ≈ 1.195 × 10¹⁶	0.28571429224
56	23697383987968257 ≈ 2.37 × 10¹⁶	0.285714283629
57	47005724312572177 ≈ 4.701 × 10¹⁶	0.28571428089
58	93239748289151906 ≈ 9.324 × 10¹⁶	0.285714284162
59	184948765031564404 ≈ 1.849 × 10¹⁷	0.285714287275
60	366861197229128136 ≈ 3.669 × 10¹⁷	0.285714287468
61	727699576741806576 ≈ 7.277 × 10¹⁷	0.285714285944
62	1443452395592191456 ≈ 1.443 × 10¹⁸	0.285714284895
63	2863207407196414655 ≈ 2.863 × 10¹⁸	0.285714285106
64	5679409090080257133 ≈ 5.679 × 10¹⁸	0.285714285808
65	11265578431871362360 ≈ 1.127 × 10¹⁹	0.285714286083
66	22346208098711160316 ≈ 2.235 × 10¹⁹	0.285714285884
67	44325555000193192496 ≈ 4.433 × 10¹⁹	0.28571428562
68	87923410423644578416 ≈ 8.792 × 10¹⁹	0.285714285566
69	174403368451696965376 ≈ 1.744 × 10²⁰	0.285714285678
70	345943529496197516097 ≈ 3.459 × 10²⁰	0.285714285773
71	686207649902314775061 ≈ 6.862 × 10²⁰	0.285714285767
72	1361149721372758187762 ≈ 1.361 × 10²¹	0.285714285715
73	2699953234646805215208 ≈ 2.7 × 10²¹	0.285714285686
74	5355580914293417237920 ≈ 5.356 × 10²¹	0.285714285697
75	10623238418163189897424 ≈ 1.062 × 10²²	0.285714285719
76	21072073467874682829472 ≈ 2.107 × 10²²	0.285714285726
77	41798203406253168142847 ≈ 4.18 × 10²²	0.285714285719
78	82910199162604021510633 ≈ 8.291 × 10²²	0.28571428571
79	164459248603835284833504 ≈ 1.645 × 10²³	0.28571428571
80	326218543973023764451800 ≈ 3.262 × 10²³	0.285714285714
81	647081507031754111665680 ≈ 6.471 × 10²³	0.285714285716
82	1283539775645345033433936 ≈ 1.284 × 10²⁴	0.285714285716
83	2546007477822815384038400 ≈ 2.546 × 10²⁴	0.285714285714
84	5050216752239377599933953 ≈ 5.05 × 10²⁴	0.285714285713
85	10017523305316151178357273 ≈ 1.002 × 10²⁵	0.285714285714
86	19870587362028467071881042 ≈ 1.987 × 10²⁵	0.285714285715
87	39414956180083910379310284 ≈ 3.941 × 10²⁵	0.285714285715
88	78182830853136066646954888 ≈ 7.818 × 10²⁵	0.285714285714
89	155082121930626788260475840 ≈ 1.551 × 10²⁶	0.285714285714
90	307618236383430761136913280 ≈ 3.076 × 10²⁶	0.285714285714
91	610186256014622144673892607 ≈ 6.102 × 10²⁶	0.285714285714
92	1210354988723928138169427941 ≈ 1.21 × 10²⁷	0.285714285714
93	2400839390085827809266974840 ≈ 2.401 × 10²⁷	0.285714285714
94	4762263823991571708154639396 ≈ 4.762 × 10²⁷	0.285714285714
95	9446344817130007349662323904 ≈ 9.446 × 10²⁷	0.285714285714
96	18737607512329387911064171968 ≈ 1.874 × 10²⁸	0.285714285714
97	37167596788275345060991430656 ≈ 3.717 × 10²⁸	0.285714285714
98	73725007320536067977308968705 ≈ 7.373 × 10²⁸	0.285714285714
99	146239659652348207816448509469 ≈ 1.462 × 10²⁹	0.285714285714
100	290078479914610587823630044098 ≈ 2.901 × 10²⁹	0.285714285714