サイコロを振り続けた時、目の和がある特定の値になる確率

前回は、サイコロの目の和がある特定の値 (nとする)になる場合のサイコロを振る回数 (mとする)のパターン数分布 h(n,m) を計算した。
これを利用してサイコロを振り続けた時、目の和がある特定の値 n になる確率を計算する。
これは、nマス (ゴールを含まない)のすごろくでゴールでの跳ね返りなしでちょうどゴールする確率を求めることと等しい。
目の和が n になるかどうかは、和が n未満の状態では分からない。以降の目の出方で決まるからである。
したがって和が n未満の間サイコロを振り続ける。和が n以上になった時、ちょうど n になったか、ならなかったか決まる。
サイコロを振る回数は自由だが、サイコロの目が 1 ～ 6 なので自ずと最小回数と最大回数は決まる。
どんなに少なくとも n/6 回は振る必要があるし、どんな多くとも n 回を超えることはない。

出目のパターンと確率

目の和がある特定の値となる出目の各パターンの出現頻度は等しくない。
例えば和が 4となるパターンは、[4], [3,1], [1,1,1,1] などがあるが確率は次のように異なる。
[4]　確率 (1/6)
[3,1]　確率 (1/6)²
[1,1,1,1] 　確率 (1/6)⁴

サイコロの目の和が4(n=4) になる場合の確率は次式となる。
　(1/6)⁴ × 1 + (1/6)³ × 3 + (1/6)² × 3 + (1/6) × 1 = 0.26466…

一般化すると、さいころを振る回数が m である出目パターン 1個の出現確率は、(1/6)^m となる。
和が n でさいころを振る回数が m である出目パターンのパターン数 h(n,m) は前回計算した。
和が n でさいころを振る回数が m である全出目パターンの出現確率は、h(n,m)・(1/6)^m である。
よって、和が n となる全出目パターンの出現確率は、Σ h(n,m)・(1/6)^m である。

目の和が 100 (n=100) となる確率の計算例

概算

さいころの出目の期待値は 3.5 である。1回振るたびに和は凡そ 3.5ずつ増加するので、
6 より十分大きな n に対して和がちょうど 100 になる確率は 1 / 3.5 ≈ 0.2857 程度と予測される。
サイコロを振る回数の最小値は、100/6 = 16.666… なので切り上げて 17回である。
サイコロを振る回数の最大値は 1が連続する場合なので、100回である。

正確な計算結果

さいころを振る回数 m	パターン数 h(n, m)	1パターンの確率 (1/6)^m	全パターンの確率 h(n, m)・(1/6)^m
17	153	5.9078402520291E-14	9.0389955856045E-12
18	1078497	9.8464004200485E-15	1.0619313313821E-8
19	441784865	1.6410667366748E-15	7.2499844671785E-7
20	52968655260	2.7351112277913E-16	1.4487516372263E-5
21	3001638389211	4.5585187129854E-17	0.00013683024766834
22	100475168304764	7.597531188309E-18	0.00076336322484604
23	2254565765372166	1.2662551980515E-18	0.0028548556197515
24	36756339355611144	2.1104253300858E-19	0.0077571509617313
25	460095994386015651	3.5173755501431E-20	0.016183304013721
26	4602128615021068560	5.8622925835718E-21	0.026979024448482
27	3.7906821922838E+19	9.7704876392863E-22	0.037036813504172
28	2.6317994940659E+20	1.6284146065477E-22	0.042856607376419
29	1.5689778752237E+21	2.7140243442462E-23	0.042582441489407
30	8.1533876908622E+21	4.523373907077E-24	0.036880821135129
31	3.7393622452693E+22	7.538956511795E-25	0.028190889348933
32	1.5292953632044E+23	1.2564927519658E-25	0.019215485394812
33	5.6262696874912E+23	2.0941545866097E-26	0.011782278471563
34	1.8759895747706E+24	3.4902576443495E-27	0.0065476869540633
35	5.7057907369949E+24	5.8170960739159E-28	0.0033191132894758
36	1.591847952423E+25	9.6951601231932E-29	0.0015433220790518
37	4.0935955316823E+25	1.6158600205322E-29	0.00066146773598747
38	9.7450702109439E+25	2.6931000342203E-30	0.00026244448918572
39	2.1556684484472E+26	4.4885000570339E-31	9.6757179538012E-5
40	4.445791194302E+26	7.4808334283898E-32	3.3258223381976E-5
41	8.5738949713452E+26	1.2468055713983E-32	1.0689980018857E-5
42	1.550319233221E+27	2.0780092856638E-33	3.2215777623765E-6
43	2.6345559155728E+27	3.4633488094397E-34	9.1243860936013E-7
44	4.2165636187298E+27	5.7722480157329E-35	2.4339050981424E-7
45	6.3679696965787E+27	9.6204133595548E-36	6.1262500742205E-8
46	9.0902415276146E+27	1.6034022265925E-36	1.4575313505641E-8
47	1.2284192722673E+28	2.6723370443208E-37	3.2827503272373E-9
48	1.573658049892E+28	4.4538950738679E-38	7.0089078363666E-10
49	1.9133743391392E+28	7.4231584564466E-39	1.4203280905929E-10
50	2.2105054690914E+28	1.2371930760744E-39	2.7348220609845E-11
51	2.4288974812518E+28	2.061988460124E-40	5.0083585771656E-12
52	2.5405528170744E+28	3.4366474335401E-41	8.7309843185716E-13
53	2.5315080249376E+28	5.7277457225668E-42	1.449983426148E-13
54	2.4046452639677E+28	9.5462428709447E-43	2.2955327708303E-14
55	2.1786750321062E+28	1.5910404784908E-43	3.4663601655581E-15
56	1.8837156488223E+28	2.651734130818E-44	4.9951130787381E-16
57	1.5548761372656E+28	4.4195568846966E-45	6.8718635373027E-17
58	1.2256762709741E+28	7.365928141161E-46	9.0282433363212E-18
59	9.2292046280356E+27	1.2276546901935E-46	1.1330276348363E-18
60	6.6395434902305E+27	2.0460911503225E-47	1.3585111177542E-19
61	4.5639738923764E+27	3.4101519172042E-48	1.5563844319157E-20
62	2.9977378352059E+27	5.6835865286736E-49	1.7037902376672E-21
63	1.8813670737191E+27	9.472644214456E-50	1.7821520926134E-22
64	1.1280695388035E+27	1.5787740357427E-50	1.7809668983752E-23
65	6.4610437236079E+26	2.6312900595711E-51	1.7000880124384E-24
66	3.5339833326828E+26	4.3854834326185E-52	1.549822535663E-25
67	1.8453537905526E+26	7.3091390543642E-53	1.3487947459647E-26
68	9.1954553803506E+25	1.218189842394E-53	1.1201810340531E-27
69	4.3705489115491E+25	2.0303164039901E-54	8.8735971495591E-29
70	1.9802615966157E+25	3.3838606733168E-55	6.7009293396674E-30
71	8.5477102482187E+24	5.6397677888613E-56	4.8207100926423E-31
72	3.5123219713543E+24	9.3996129814355E-57	3.3014467196923E-32
73	1.3727452466002E+24	1.5666021635726E-57	2.1505456733579E-33
74	5.0982885491267E+23	2.6110036059543E-58	1.3311649785965E-34
75	1.7973621525761E+23	4.3516726765905E-59	7.8215317693033E-36
76	6.0076834141743E+22	7.2527877943175E-60	4.3572452938447E-37
77	1.9013525772972E+22	1.2087979657196E-60	2.2983511275525E-38
78	5.6893207324554E+21	2.0146632761993E-61	1.1462065546197E-39
79	1.6068851636237E+21	3.3577721269988E-62	5.3955542137038E-41
80	4.2760031508815E+20	5.5962868783314E-63	2.3929740324982E-42
81	1.0698644837054E+20	9.327144797219E-64	9.9787809529218E-44
82	2.5110740988304E+19	1.5545241328698E-64	3.9035252860562E-45
83	5514552149248990323	2.5908735547831E-65	1.4287507329961E-46
84	1129844264794151004	4.3181225913051E-66	4.8788060444641E-48
85	215255944979981669	7.1968709855085E-67	1.5491692648846E-49
86	37992012352222173	1.1994784975847E-67	4.5570601896465E-51
87	6185347769998143	1.9991308293079E-68	1.2365319416994E-52
88	924303447375132	3.3318847155132E-69	3.0796725288053E-54
89	126045900688617	5.553141192522E-70	6.9995068326249E-56
90	15579015734646	9.25523532087E-71	1.4418745669168E-57
91	1731019136938	1.542539220145E-71	2.6701649095484E-59
92	171200469180	2.5708987002417E-72	4.4013906369562E-61
93	14887022895	4.2848311670694E-73	6.3788379685372E-63
94	1120529162	7.141385278449E-74	8.0021304615796E-65
95	71523144	1.1902308797415E-74	8.5129054604999E-67
96	3764376	1.9837181329025E-75	7.467460930263E-69
97	156849	3.3061968881709E-76	5.1857367571271E-71
98	4851	5.5103281469514E-77	2.6730601840861E-73
99	99	9.183880244919E-78	9.0920414424698E-76
100	1	1.5306467074865E-78	1.5306467074865E-78
確率の和　Σ h(n, m)・(1/6)^m			0.28571428571428

100にならない場合の場合分け

目の和が 100にならない場合は、和が 100未満の次に 101～ 105になる場合に分けることができる。
和が 100未満の次に 101になる場合は、99+2, 98+3, 97+4, 96+5, 95+6 のバターンからなる。
よって、和が 100未満の次に 101になる確率 p₁₀₁ は、次式で求めることができる。
p₁₀₁ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m + Σ h(98, m)・(1/6)^m + Σ h(97, m)・(1/6)^m + Σ h(96, m)・(1/6)^m + Σ h(95, m)・(1/6)^m }

102 ～ 105の場合についても同様に計算できる。
p₁₀₂ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m + Σ h(98, m)・(1/6)^m + Σ h(97, m)・(1/6)^m + Σ h(96, m)・(1/6)^m}
p₁₀₃ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m + Σ h(98, m)・(1/6)^m + Σ h(97, m)・(1/6)^m}
p₁₀₄ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m + Σ h(98, m)・(1/6)^m}
p₁₀₅ = (1/6) × { Σ h(99, m)・(1/6)^m}
計算結果が下の表である。

Case		確率
和が100になる場合		0.28571428571428 (≈1/3.5)
和が100にならない場合	100未満の次に101になる場合	0.23809523809523 (≈1/3.5×5/6)
	100未満の次に102になる場合	0.19047619047619 (≈1/3.5×4/6)
	100未満の次に103になる場合	0.14285714285715 (≈1/3.5×3/6)
	100未満の次に104になる場合	0.095238095238097 (≈1/3.5×2/6)
	100未満の次に105になる場合	0.047619047619048 (≈1/3.5×1/6)
すべての場合		1

サイコロを振り続けてサイコロの目の和が 1～ 100になる確率の一覧表

サイコロの目の和 n	パターン数 Σ h(n, m)	確率 Σ h(n, m)・(1/6)^m
1	1	0.16666666666667
2	2	0.19444444444444
3	4	0.22685185185185
4	8	0.26466049382716
5	16	0.30877057613169
6	32	0.3602323388203
7	63	0.25360439529035
8	125	0.26809401672763
9	248	0.2803689454415
10	492	0.28928846103977
11	976	0.29339312224187
12	1936	0.29083021326024
13	3840	0.27926319233356
14	7617	0.28353965850743
15	15109 ≈ 1.511 × 10⁴	0.2861139321374
16	29970 ≈ 2.997 × 10⁴	0.28707142992005
17	59448 ≈ 5.945 × 10⁴	0.28670192473342
18	117920 ≈ 1.179 × 10⁵	0.28558672514868
19	233904 ≈ 2.339 × 10⁵	0.28471281046342
20	463968 ≈ 4.64 × 10⁵	0.28562108015173
21	920319 ≈ 9.203 × 10⁵	0.28596798375912
22	1825529 ≈ 1.826 × 10⁶	0.2859436590294
23	3621088 ≈ 3.621 × 10⁶	0.2857556972143
24	7182728 ≈ 7.183 × 10⁶	0.28559799262778
25	14247536 ≈ 1.425 × 10⁷	0.28559987054096
26	28261168 ≈ 2.826 × 10⁷	0.28574771388721
27	56058368 ≈ 5.606 × 10⁷	0.28576881950979
28	111196417 ≈ 1.112 × 10⁸	0.28573562546824
29	220567305 ≈ 2.206 × 10⁸	0.28570095320805
30	437513522 ≈ 4.375 × 10⁸	0.28569182920701
31	867844316 ≈ 8.678 × 10⁸	0.28570746863688
32	1721441096 ≈ 1.721 × 10⁹	0.28572540165286
33	3414621024 ≈ 3.415 × 10⁹	0.28572168294714
34	6773183680 ≈ 6.773 × 10⁹	0.28571382685336
35	13435170943 ≈ 1.344 × 10¹⁰	0.28571019375088
36	26649774581 ≈ 2.665 × 10¹⁰	0.28571173384135
37	52862035640 ≈ 5.286 × 10¹⁰	0.28571505128041
38	104856226964 ≈ 1.049 × 10¹¹	0.28571631505434
39	207991012832 ≈ 2.08 × 10¹¹	0.28571480062125
40	412567404640 ≈ 4.126 × 10¹¹	0.28571365356693
41	818361625600 ≈ 8.184 × 10¹¹	0.28571362468586
42	1623288080257 ≈ 1.623 × 10¹²	0.28571419650836
43	3219926385933 ≈ 3.22 × 10¹²	0.28571460695286
44	6386990736226 ≈ 6.387 × 10¹²	0.28571453289826
45	12669125245488 ≈ 1.267 × 10¹³	0.28571423587225
46	25130259478144 ≈ 2.513 × 10¹³	0.28571414174742
47	49847951551648 ≈ 4.985 × 10¹³	0.28571422311084
48	98877541477696 ≈ 9.888 × 10¹³	0.28571432284833
49	196131794875135 ≈ 1.961 × 10¹⁴	0.28571434390499
50	389043663364337 ≈ 3.89 × 10¹⁴	0.28571430006368
51	771700335992448 ≈ 7.717 × 10¹⁴	0.28571426125792
52	1530731546739408 ≈ 1.531 × 10¹⁵	0.28571426548886
53	3036332834000672 ≈ 3.036 × 10¹⁵	0.28571428611244
54	6022817716449696 ≈ 6.023 × 10¹⁵	0.28571429661271
55	11946757891421696 ≈ 1.195 × 10¹⁶	0.2857142922401
56	23697383987968257 ≈ 2.37 × 10¹⁶	0.28571428362929
57	47005724312572177 ≈ 4.701 × 10¹⁶	0.28571428089022
58	93239748289151906 ≈ 9.324 × 10¹⁶	0.28571428416227
59	184948765031564404 ≈ 1.849 × 10¹⁷	0.2857142872745
60	366861197229128136 ≈ 3.669 × 10¹⁷	0.28571428746818
61	727699576741806576 ≈ 7.277 × 10¹⁷	0.28571428594409
62	1443452395592191456 ≈ 1.443 × 10¹⁸	0.28571428489476
63	2863207407196414655 ≈ 2.863 × 10¹⁸	0.28571428510567
64	5679409090080257133 ≈ 5.679 × 10¹⁸	0.28571428580825
65	11265578431871362360 ≈ 1.127 × 10¹⁹	0.28571428608258
66	22346208098711160316 ≈ 2.235 × 10¹⁹	0.28571428588392
67	44325555000193192496 ≈ 4.433 × 10¹⁹	0.28571428561988
68	87923410423644578416 ≈ 8.792 × 10¹⁹	0.28571428556584
69	174403368451696965376 ≈ 1.744 × 10²⁰	0.28571428567769
70	345943529496197516097 ≈ 3.459 × 10²⁰	0.28571428577302
71	686207649902314775061 ≈ 6.862 × 10²⁰	0.28571428576715
72	1361149721372758187762 ≈ 1.361 × 10²¹	0.28571428571458
73	2699953234646805215208 ≈ 2.7 × 10²¹	0.28571428568636
74	5355580914293417237920 ≈ 5.356 × 10²¹	0.28571428569744
75	10623238418163189897424 ≈ 1.062 × 10²²	0.28571428571938
76	21072073467874682829472 ≈ 2.107 × 10²²	0.28571428572632
77	41798203406253168142847 ≈ 4.18 × 10²²	0.28571428571854
78	82910199162604021510633 ≈ 8.291 × 10²²	0.28571428571044
79	164459248603835284833504 ≈ 1.645 × 10²³	0.28571428570975
80	326218543973023764451800 ≈ 3.262 × 10²³	0.28571428571364
81	647081507031754111665680 ≈ 6.471 × 10²³	0.28571428571635
82	1283539775645345033433936 ≈ 1.284 × 10²⁴	0.28571428571584
83	2546007477822815384038400 ≈ 2.546 × 10²⁴	0.28571428571409
84	5050216752239377599933953 ≈ 5.05 × 10²⁴	0.28571428571335
85	10017523305316151178357273 ≈ 1.002 × 10²⁵	0.28571428571384
86	19870587362028467071881042 ≈ 1.987 × 10²⁵	0.28571428571452
87	39414956180083910379310284 ≈ 3.941 × 10²⁵	0.28571428571466
88	78182830853136066646954888 ≈ 7.818 × 10²⁵	0.28571428571438
89	155082121930626788260475840 ≈ 1.551 × 10²⁶	0.28571428571414
90	307618236383430761136913280 ≈ 3.076 × 10²⁶	0.28571428571415
91	610186256014622144673892607 ≈ 6.102 × 10²⁶	0.28571428571428
92	1210354988723928138169427941 ≈ 1.21 × 10²⁷	0.28571428571436
93	2400839390085827809266974840 ≈ 2.401 × 10²⁷	0.28571428571433
94	4762263823991571708154639396 ≈ 4.762 × 10²⁷	0.28571428571427
95	9446344817130007349662323904 ≈ 9.446 × 10²⁷	0.28571428571426
96	18737607512329387911064171968 ≈ 1.874 × 10²⁸	0.28571428571427
97	37167596788275345060991430656 ≈ 3.717 × 10²⁸	0.2857142857143
98	73725007320536067977308968705 ≈ 7.373 × 10²⁸	0.2857142857143
99	146239659652348207816448509469 ≈ 1.462 × 10²⁹	0.28571428571429
100	290078479914610587823630044098 ≈ 2.901 × 10²⁹	0.28571428571428