Top 　チャンミで決勝ラウンドに進出した時に 1位, 2位, 3位 を取れる確率

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ウマ娘 チャンミで決勝ラウンドに進める確率

2025年10月 チャンミ SPRINT (新潟 芝 1200m) にオープンリーグで初参戦してみた。
なんとか決勝ラウンド Aグループに行けたぞ！でもこれって実力？それとも…？

決勝ラウンドに進める確率は?

ウマ娘のチャンミ (チャンピオンズミーティング) は 3段階のラウンド形式である。
そのうち、ラウンド 1とラウンド 2 は最大で各 8回挑戦可能で、1回でも条件を満たせば次のラウンドに進める。
8回挑戦できるというのはかなりの温情だと思う。
そこでこの仕組みを考慮した場合に、チャンミで決勝ラウンドに進める確率を計算してみた。
なお各レースで勝つ確率は p₀ = 1/3 と仮定した。
つまり出走ウマ娘の強弱は考慮しない。この条件ではグレードリーグとオープンリーグで差異はない。
もちろん実力は勝率に関係する。しかし現実的な問題として対戦相手はマッチング次第なので事前に勝率を予測するのは困難である。
また、この仮定は参加チームの実力が完全に同じ場合と捉えることもできる。その場合、勝敗は完全にランダムに決まるだろう。
勝敗がランダムに均等に決まるという極端な条件で、決勝ラウンドに進める確率がどうなるか見てみよう。

結論

最初に結論を書く。決勝ラウンドに進める確率は下図のようになる。

各 8回のチャンスを最大限活用した場合、決勝でAグループに進む確率は 71.9%, Bグループに進む確率は 28.1%、途中敗退する確率はほぼ 0% である。

計算の準備

チャンミ全体の確率を計算する準備として、最初に 1エントリー (5レース) で ？勝する確率を諸々計算する。二項分布で計算できる。
計算式の最後に直感的に分かるように小数の数値を書いているが、続く計算は丸め誤差が生じないよう全て分数で処理している。

1エントリーで 3勝以上する確率 P_win≧3

1エントリーで 3勝以上する確率 P_win≧3 は、

　P_win≧3 = 1・p₀⁵ + ₅C₁・p₀⁴・(1-p₀) + ₅C₂・p₀³・(1-p₀)² = (1 + 5・2 + 10・4) / 3⁵ = 51 / 3⁵ = 17 / 81 = 0.2099

である。ちなみに私以外の 2人が 3勝以上する確率を含めても 0.2099 × 3 = 0.6296 で 1に満たない。
それは、誰も3勝できないケースがあるためである。プレイヤーをA, B, C とした時、5レースの勝者が A,A,B,B,C だったようなケースである。
その確率を P_draw とすると、

　P_draw = 3 × { 5! / (2!・2!) } / 3⁵ = 10 / 27 = 0.3704

となり、3 × P_win≧3 + P_draw = 1 となる。

1エントリーで 2勝する確率 P_win=2

以下同様に、

　P_win=2 = ₅C₃・p₀²・(1-p₀)³ = 10・8 / 3⁵ = 80 / 243 = 0.3292

1エントリーで 1勝する確率 P_win=1

　P_win=1 = ₅C₄・p₀¹・(1-p₀)⁴ = 5・16 / 3⁵ = 80 / 243 = 0.3292

1エントリーで 0勝(全負け)する確率 P_win=0

　P_win=0 = (1 - p₀)⁵ = 2⁵ / 3⁵ = 32 / 243 = 0.1317

1エントリーで 1勝または2勝する確率 P_win=1or2

　P_win=1or2 = P_win=1 + P_win=2 = 5・16 / 3⁵ + 10・8 / 3⁵ = 160 / 3⁵ = 160/ 243 = 0.6584

1エントリーで 1勝以上する確率 P_win≧1

　P_win≧1 = P_win≧3 + P_win=1or2 = 51 / 3⁵ + 160 / 3⁵ = 211 / 3⁵ = 0.8683

8回エントリーした場合の確率の計算

8回エントリーしてラウンド1からラウンド2 Aグループに進む確率 P_R1→R2A

ラウンド1からラウンド2 Aグループに進むには最低 1回は3勝以上しなければならない。
よって 8回エントリーして 1～8回 3勝以上する確率を計算して和を求めればよい。

　P_R1→R2A = Σ (i=1…8) ₈C_i・P_win≧3ⁱ・(1 - P_win≧3)^8-i = Σ (i=1…8) ₈C_i・(51 / 3⁵)ⁱ・(192 / 3⁵)^8-i = Σ (i=1…8) ₈C_i・51ⁱ・192^8-i / 3⁴⁰

Σ の各項を計算して和を求めたのが下表である。

i	8Ci・Pwin≧3i・(1 - Pwin≧3)8-i			小数
1	8C1・Pwin≧31・(1 - Pwin≧3)7	= 8・511・1927 / 340	= 3924359309672054784 / 340	= 0.32278889
2	8C2・Pwin≧32・(1 - Pwin≧3)6	= 28・512・1926 / 340	= 3648427795710738432 / 340	= 0.30009279
3	8C3・Pwin≧33・(1 - Pwin≧3)5	= 56・513・1925 / 340	= 1938227266471329792 / 340	= 0.15942430
4	8C4・Pwin≧34・(1 - Pwin≧3)4	= 70・514・1924 / 340	= 643552022070558720 / 340	= 0.05293385
5	8C5・Pwin≧35・(1 - Pwin≧3)3	= 56・515・1923 / 340	= 136754804689993728 / 340	= 0.01124844
6	8C6・Pwin≧36・(1 - Pwin≧3)2	= 28・516・1922 / 340	= 18162747497889792 / 340	= 0.00149393
7	8C7・Pwin≧37・(1 - Pwin≧3)1	= 8・517・1921 / 340	= 1378422801179136 / 340	= 0.00011338
8	8C8・Pwin≧38・(1 - Pwin≧3)0	= 1・518・1920 / 340	= 45767944570401 / 340	= 0.00000376
和	Σ (i=1…8) 8Ci・Pwin≧3i・(1 - Pwin≧3)8-i		= 10310908136858314785 / 340	= 0.84809935

8回エントリーしてラウンド1からラウンド2 Bグループに進む確率 P_R1→R2B

ラウンド1からラウンド2 Bグループに進むのは、8回とも 2勝以下だった場合である。よって

　P_R1→R2B = (1 - P_win≧3)⁸ = (1 - 51 / 3⁵)⁸ = (192 / 3⁵)⁸ = 0.1519

検算1

ラウンド1では敗退はないので、ラウンド2 Aグループに進む確率 P_R1→R2Aとラウンド2 Bグループに進む確率 P_R1→R2Bの和は 1になる。これを確認する。

　P_R1→R2A = 10310908136858314785 / 3⁴⁰

　P_R1→R2B = (192 / 3⁵)⁸ = 1846757322198614016 / 3⁴⁰

　P_R1→R2A + P_R1→R2B = (10310908136858314785 + 1846757322198614016) / 3⁴⁰ = 12157665459056928801 / 12157665459056928801 = 1

8回エントリーしてラウンド2 Aグループから決勝ラウンド Aグループに進む確率 P_R2A→RFA

ラウンド2 Aグループから決勝ラウンド Aグループに進むには最低 1回は3勝以上しなければならない。
これはラウンド1からラウンド2 Aグループに進む条件と同じなので、P_R2A→RFA = P_R1→R2A である。

　P_R2A→RFA = P_R1→R2A = 10310908136858314785 / 3⁴⁰ = 0.8481

8回エントリーしてラウンド2 Aグループから決勝ラウンド Bグループに進む確率 P_R2A→RFB

ラウンド2 Aグループから決勝ラウンド Bグループに進むのは、3勝以上が全くなく最低 1回 1勝または 2勝する場合である。
よって8回のエントリーのうち 1～8回で 1勝または2勝し、残りのエントリーは 0勝(全負け)する確率を計算して和を求めればよい。

　P_R2A→RFB = Σ (i=1…8) ₈C_i・P_win=1or2ⁱ・P_win=0^8-i = Σ (i=1…8) ₈C_i・(160 / 3⁵)ⁱ・(32 / 3⁵)^8-i = Σ (i=1…8) ₈C_i・160ⁱ・32^8-i / 3⁴⁰

Σ の各項を計算して和を求めたのが下表である。

i	8Ci・Pwin=1or2i・Pwin=08-i			小数
1	8C1・Pwin=1or21・Pwin=07	= 8・(160 / 35)i・(32 / 35)8-i	= 43980465111040 / 340	= 0.00000362
2	8C2・Pwin=1or22・Pwin=06	= 28・(160 / 35)i・(32 / 35)8-i	= 769658139443200 / 340	= 0.00006331
3	8C3・Pwin=1or23・Pwin=05	= 56・(160 / 35)i・(32 / 35)8-i	= 7696581394432000 / 340	= 0.00063306
4	8C4・Pwin=1or24・Pwin=04	= 70・(160 / 35)i・(32 / 35)8-i	= 48103633715200000 / 340	= 0.00395665
5	8C5・Pwin=1or25・Pwin=03	= 56・(160 / 35)i・(32 / 35)8-i	= 192414534860800000 / 340	= 0.01582660
6	8C6・Pwin=1or26・Pwin=02	= 28・(160 / 35)i・(32 / 35)8-i	= 481036337152000000 / 340	= 0.03956651
7	8C7・Pwin=1or27・Pwin=01	= 8・(160 / 35)i・(32 / 35)8-i	= 687194767360000000 / 340	= 0.05652358
8	8C8・Pwin=1or28・Pwin=00	= 1・(160 / 35)i・(32 / 35)8-i	= 429496729600000000 / 340	= 0.03532724
和			= 1846756222686986240 / 340	= 0.15190056

8回エントリーしてラウンド2 Aグループから敗退する確率 P_{R2A_lose}

ラウンド2 Aグループから敗退するのは、8回全てで 0勝の場合である。よって、

　P_{R2A_lose} = (P_win=0)⁸ = (2⁵ / 3⁵)⁸ = 1099511627776 / 3⁴⁰ = 9.04 × 10^-8

ほとんど生じない確率となる。

検算2

ラウンド2 Aグループから決勝ラウンド Aグループに進む確率、Bグループに進む確率、敗退する確率の和は 1になる。これを確認する。

　P_R2A→RFA + P_R2A→RFB + P_{R2A_lose} = (10310908136858314785 + 1846756222686986240 + 1099511627776) / 3⁴⁰
　 = 12157665459056928801 / 12157665459056928801 = 1

8回エントリーしてラウンド2 Bグループから決勝ラウンド Bグループに進む確率 P_R2B→RFB

ラウンド2 Bグループから決勝ラウンド Bグループに進むには最低 1回は1勝以上しなければならない。
よって8回のエントリーのうち 1～8回で 1勝以上し、残りのエントリーは 0勝(全負け)する確率を計算して和を求めればよい。

　P_R2B→RFB = Σ (i=1…8) ₈C_i・P_win≧1ⁱ・P_win=0^8-i = Σ (i=1…8) ₈C_i・(211 / 3⁵)ⁱ・(32 / 3⁵)^8-i = Σ (i=1…8) ₈C_i・211ⁱ・32^8-i / 3⁴⁰

Σ の各項を計算して和を求めたのが下表である。

i	8Ci・Pwin≧1i・Pwin=08-i			小数
1	8C1・Pwin≧11・Pwin=07	= 8・2111・327 / 340	= 57999238365184 / 340	= 0.00000477
2	8C2・Pwin≧12・Pwin=06	= 28・2112・326 / 340	= 1338513672896512 / 340	= 0.00011010
3	8C3・Pwin≧13・Pwin=05	= 56・2113・325 / 340	= 17651649061322752 / 340	= 0.00145189
4	8C4・Pwin≧14・Pwin=04	= 70・2114・324 / 340	= 145488201247621120 / 340	= 0.01196679
5	8C5・Pwin≧15・Pwin=03	= 56・2115・323 / 340	= 767450261581201408 / 340	= 0.06312481
6	8C6・Pwin≧16・Pwin=02	= 28・2116・322 / 340	= 2530187581150523392 / 340	= 0.20811459
7	8C7・Pwin≧17・Pwin=01	= 8・2117・321 / 340	= 4766692675203218176 / 340	= 0.39207303
8	8C8・Pwin≧18・Pwin=00	= 1・2118・320 / 340	= 3928797478390152481 / 340	= 0.32315394
和			= 12157664359545301025 / 340	= 0.99999991

8回エントリーしてラウンド2 Bグループから敗退する確率 P_{R2B_lose}

ラウンド2 Bグループから敗退するのは、8回全てで 0勝の場合である。よって、

　P_{R2B_lose} = (P_win=0)⁸ = (2⁵ / 3⁵)⁸ = 1099511627776 / 3⁴⁰ = 9.04 × 10^-8

ほとんど生じない確率となる。

検算3

ラウンド2 Bグループから決勝ラウンド Bグループに進む確率と、ラウンド2 Bグループから敗退する確率の和は 1になる。これを確認する。

　P_R2B→RFB + P_{R2B_lose} = (12157664359545301025 + 1099511627776) / 3⁴⁰ = 12157665459056928801 / 12157665459056928801 = 1

8回エントリーした場合に決勝ラウンドに進める確率のまとめ

以上の結果を整理したものが最初に示した図である。決勝ラウンド Aグループに約 7割、Bグループに 3割進めて途中敗退はほぼ 0である。
実力が他の参加者の平均程度あるなら、各 8回エントリーすることで決勝ラウンド Aグループに 7割くらいの確率で進めると考えてよいだろう。
決勝ラウンドまで進むこと自体は困難ではないということだ。8回のチャンスの効果は大きい。決勝ラウンドこそが真の勝負だといえる。

エントリー回数を各4回に制限した場合に決勝ラウンドに進める確率は?

もしエントリー回数の上限が半分の 各 4回だったらどうなるか？
計算式は省略する。ラウンド1, ラウンド2 のエントリー回数を 4回にすると、決勝ラウンドに進める確率は下図のようになる。
決勝ラウンド Aグループに約 4割、Bグループに 6割になる。8回の場合は Aグループの方が多かったが逆転した。やはり 8回の救済措置の効果は大きい。

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🌸おしらせ

継承元にしてダートウマ娘の芝適性上げに利用できるスピード9，芝9のゴールドシップを私の育成ウマ娘に設定して公開しています。
ぜひご利用ください。みんなでウララちゃんを育成しよう！

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